Стратегия удержания КА на гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля

Математическая модель

Для описания движения КА по ограниченной орбите введем вращающуюся систему координат, связанную с точкой L₂. Центр системы координат расположен в точке L₂, ось X совпадает с осью Солнце-Земля и направлена от Солнца к Земле, ось Z направлена в северный полюс эклиптики, ось Y дополняет систему координат до правой тройки. Иллюстрация системы координат приведена на рис. 2. Далее в работе всегда подразумевается данная система координат, если не оговорено иное.

Рис. 2. Вращающаяся система координат, связанная с точкой L2.

Движение КА в системе n тел в инерциальной системе координат описывается следующими уравнениями:

(1)

где n - количество притягивающих центров, G - гравитационная постоянная, R - радиус-вектор КА, m_i - масса i-го тела, R_i - радиус-вектор i-го тела.

Во вращающейся системе координат, при переходе к ограниченной задаче трех тел () уравнения (1) могут быть приведены к виду [1]:

(2)

где c₂ - параметр, зависящий от масс тел, a_x, a_y, a_z - возмущающие ускорения, которые являются функциями координат КА и эксцентриситета орбиты КА.

Уравнения (2) допускают линеаризацию в окрестности точки L₂. Тогда они принимают следующий вид [2]:

(3)

Система (3) имеет следующее решение:

(4)

где , , , , , - фаза колебаний в плоскости XY, - фаза колебаний по оси Z. Коэффициенты , , , и фазы , зависят от начальных условий.

Решения и представляют собой линейную комбинацию трех компонент: ограниченной (и ), экспоненциально возрастающей и убывающей к нулю . Будем предполагать, что и решение системы (1), записанной во вращающейся системе координат, связанной с точкой L₂, также представимо в виде линейной комбинации ограниченной, возрастающей и убывающей компонент:

где , - возрастающие компоненты, , - убывающие компоненты, , , - ограниченные компоненты.

Коэффициенты и могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому термины «возрастающая» и «убывающая» компоненты подразумевают возрастание и убывание по модулю.

Для длительного удержания аппарата в окрестности точки L₂ требуется, чтобы коэффициент возрастающей компоненты равнялся нулю.

Ограниченные орбиты, периоды обращения КА по которым по осям Y и Z совпадают, называются гало-орбитами. На рис. 3-5 представлены проекции движения КА на гало-орбите на плоскости XY, YZ, XZ.

Рис. 3. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость XY.

Рис. 4. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость YZ.

Рис. 5. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость XZ.

Из рис. 3-5 можно видеть, что гало-орбиты симметричны относительно плоскости XZ и несимметричны относительно плоскости эклиптики и плоскости YZ. В зависимости от того, в положительном или в отрицательном направлении оси Z амплитуда гало-орбиты является большей, гало-орбиты называют северными и южными. Их изображение в проекции на плоскость XZ представлено на рис. 6. Гало-орбита, изображенная на рис. 3-5, является южной. Амплитуды гало-орбиты определяются ее начальными координатами [22].

Рис. 6. Проекция движения КА по северной и южной гало-орбитам на плоскость XZ.