Введение

Бог действует по геометрическим линиям. Платон

Вообще сама идея четвёртого измерения не раз привлекала к себе внимание крайних мистиков. Любопытно, что происхождение этой идеи связано с Платоном (427-347 гг. до н.э.), самым крупным древнегреческим философом-идеалистом. Впервые же слова «n-мерное пространство» прозвучали в 1854 году в речи Бернгарда Римана (1826-66) при вступлении его на должность преподавателя Геттингенского университета.

В современном учебнике по геометрии написано: «Многомерная геометрия - один из самых сложных разделов науки». И до сих пор решение этой темы не давалось профессиональным математикам, хотя ещё в 1910 году был проведён конкурс на лучшую работу о четвёртом измерении, в котором приняли участие 245 математиков из разных стран мира.

Тогда профессиональным математикам удалось теоретически рассчитать количество единичных элементов (вершин, рёбер, граней и кубов) в четырёхмерном гиперкубе, даже определить некоторые принципы расположения этих «единичных элементов» гиперкуба. Но две их ошибочные геометрические версии трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба до сих пор используются в работах на эту тему.

Спустя ровно 100 лет (!), - в 2010 году - я определила «Универсальный метод построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых n-мерных измерений в любых проекциях и ракурсах». Вот действительно, - мистика какая-то …

В n-мерной геометрии, где n = 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7,…, геометрическим символом каждого измерения служат так называемые единичные геометрические фигуры. Так, геометрическим символом 0-мерного измерения является точка, 1-мерного измерения - отрезок прямой, 2-мерного измерения - квадрат, 3-мерного измерения - куб. Геометрический символ 4-мерного измерения получил удачное название «гиперкуб» [гипер- (от греч. hyper - над, сверх), часть сложных слов, обозначающая превышение нормы].

А ещё геометрический символ 4-мерного измерения получил название тессеракт, геометрический символ 5-мерного измерения - пентеракт, шестимерного измерения - хексеракт, и т.д.

Занимаясь этой темой с 2004 года и создавая из трубочек и лески модели трёхмерных проекций геометрических символов 4-мерного и 5-мерного измерений, я назвала их соответственно: трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) и трёхмерная проекция пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), то есть гиперкуб любого n-мерного измерения удобно называть «гиперкуб-n » ( ГК-n ), - сразу понятно о гиперкубе какого измерения идёт речь. Зачем усложнять геометрию, придумывая для гиперкубов четвёртого, пятого, шестого и т.д. измерений новые специальные названия?

Да, конечно, представить себе именно гиперкуб-4, гиперкуб-5 и т.д. в их родном n-мерном пространстве - трудно, но осмыслить и определить трёхмерные проекции гиперкубов высших измерений и их геометрические особенности - дело вполне реальное. Из трубочек и лески мною уже созданы модели трёхмерных проекций гиперкубов 4-го, 5-го и 6-го измерений. В случае надобности можно создавать модели трёхмерных проекций гиперкубов и более высоких измерений.

Осмысливать геометрические особенности трёхмерных проекций гиперкубов-n намного легче не по чертежам, а по моделям их трёхмерных проекций.

В работе [4] мною выведены алгебраические формулы для определения количества единичных геометрических элементов, составляющих n-мерные гиперкубы и их проекции (вершин, рёбер, граней, кубов). Эти данные приведены в таблице 1.1.

трёхмерные проекции гиперкубы

Глава 1

Таблица 1.1

А вот теперь, для начала предлагаю вам чертёж (рис.1.1), где на одной странице представлены во фронтальной проекции геометрические символы семи измерений. Это наиболее простой и достаточно удобный способ черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов.

Более того, эта фронтальная проекция важна тем, что именно эта проекция очень наглядно подскажет любому профессиональному геометру, как начертить трёхмерные проекции гиперкубов и следующих измерений: седьмого (3ПГК-7), восьмого (3ПГК-8), девятого (3ПГК-9) и т.д.

Давайте осмысливать рис. 1.1.

Смотрите, в какое «интересное», «особое» положение поставлены куб, квадрат и отрезок прямой. Евклидова геометрия определила этим геометрическим фигурам более «устойчивое» положение. Многомерная же геометрия требует рассматривать положение этих геометрических символов измерений именно в такой позиции - для определения «h» в проекциях геометрических символов каждого (абсолютно любого) измерения.

Рис. 1.1.

Именно эта фронтальная проекция даёт возможность определить схему (принцип, закон) строения проекций геометрических символов любого измерения.

Именно эта фронтальная проекция даёт возможность схематично провести через вершины проекций всех n-мерных геометрических символов параллельные плоскости (Р), которые на рис. 1.1 изображены в виде пунктирных линий (прямых). Каждая пунктирная прямая (плоскость Р) пронумерована римскими цифрами.

На рис. 1.1. семь таких плоскостей: P_I, P_II, P_III, P_IV, P_V, P_VI и P_VII, причём, что очень важно, эти параллельные между собой плоскости отстоят друг от друга на равную величину ( h ).

Величину (h) назовём «ярусом». Количество этих «ярусов» в n-мерном геометрическом символе соответствует числовому значению именно этой мерности, т.е. числу n.

В трёхмерных проекциях всех n-мерных гиперкубов ни одна вершина не может находиться вне этих плоскостей.

Для осмысления трёхмерных проекций гиперкубов-n эти плоскости очень важны - эти плоскости делят фигуры символов всех n-мерных измерений на хорошо известные геометрические фигуры: пирамиды, прямоугольные призмы, скошенные призмы, параллелепипеды и др.

А это значит, что через вершины трёхмерных проекций гиперкубов-n можно вписать разные хорошо известные геометрические фигуры и с их помощью определить (рассчитать) все геометрические параметры трёхмерных проекций гиперкубов-n.

Для пояснения вышесказанного сначала рассмотрим эту особенность плоскостей на примере трёхмерного куба.

Поставим куб в «интересное» положение, но для наглядности слегка изменим ракурс (рис. 1.2).

В рис. 1.2 куб «поставлен» на одну из его больших диагоналей - АН. Но куб имеет четыре больших диагонали: АН, ВЕ, СF и DG, и если мы вместо диагонали АН используем любую из оставшихся диагоналей, это не изменит геометрического смысла рис. 1.2. С таким же успехом мы можем поменять вершины А и Н. Это может говорить о том, что на рис. 1.2 в первой плоскости (Р₁) может оказаться любая из восьми вершин куба ABCDEFGH, что не изменит геометрического (но не физического!) смысла рис. 1.2.

Итак, в первой плоскости (Р₁) может оказаться любая из восьми вершин куба.

В трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) таких вершин шесть.

А вот в трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) и во всех (!) последующих 3ПГК-6, 3ПГК-7,…, 3ПГК-n таких вершин только две. Об этом будет рассказано позже.

:

Рис. 1.2, где

• а) Куб ABCDEFGH, через вершины которого проведены параллельные плоскости P_I, P_II, P_III, P_IV;
• б) Верхняя треугольная пирамида ABFD, где рёбра основания BFD равны диагонали грани куба;
• в) Скошенная треугольная призма. Её основания ДBFD и ДCEG, а её шесть боковых граней-треугольников образованы шестью рёбрами куба;
• г) Нижняя треугольная пирамида HCEG, геометрически равная верхней пирамиде ABFD.

Продолжим осмысливать рис 1.1. Вы видите в чертеже фронтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) две вершины, обведённые кружочками. В этих двух вершинах сходятся по девять рёбер, во всех остальных вершинах - по пять. Что это такое?

Это - визуальное совмещение вершин, а так как эти совмещённые на чертеже вершины соединены между собой и ребром, то это значит, что в данном чертеже 3ПГК-5 визуально совмещёнными оказались не только две пары вершин, но и два ребра. Следовательно, если вы подсчитаете количество вершин на этом чертеже 3ПГК-5, то их окажется 30, а не 32, и количество рёбер на чертеже 79, а не 80.

А вот чертёж той же трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), и тоже во фронтальной проекции, но только со слегка смещённым ракурсом (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

На этом чертеже нет ни одного совмещения вершин, т.е. данный чертёж 3ПГК-5 содержит все 32 вершины и 80 рёбер.

Давайте рассмотрим ситуацию совмещения вершин и рёбер на примере трёхмерного куба ABCDEFGH (рис. 1.4).

Рис. 1.4.

На рис.1.4 куб ABCDEFGH представлен в четырех проекциях: а), б), в), г). Комментировать рис. 1.4 излишне, - геометру легко понять, почему некоторые вершины обведены кружочками, и что из этого следует.

Итак, в зависимости от выбранного ракурса изображения в чертежах трёхмерных проекций гиперкубов-n могут совместиться и вершины, и рёбра, и грани, и кубы (например, 3ПГК-6 на рис. 1.1). Всё это происходит не хаотично, а потому, что все эти геометрические фигуры (3ПГК-n) идеально правильны по своей сути.

Прошу учесть также, что начертить «по клеткам», как это сделано здесь, абсолютно точно, без искажений возможно лишь трёхмерную проекцию четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). Начертить «по клеткам» трёхмерные проекции гиперкубов более высоких измерений (3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д.) возможно лишь с большей или меньшей погрешностью по той простой причине, что на листе бумаги «в клетку» через вершины клеток невозможно начертить правильные пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и т.д. Компьютерная графика была бы здесь более уместна.

Давайте вновь обратимся к рис. 1.1, где на одной странице начерчены проекции символов семи измерений во фронтальной проекции.

Профильные проекции этих геометрических фигур почти аналогичны фронтальным, а горизонтальные проекции будут представлены ниже.

Создав из трубочек и лески модели трёхмерных проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) и пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), я осмыслила принцип, метод создания моделей всех последующих (3ПГК-6), (3ПГК-7), …, (3ПГК-n).

Осмысление уже имеющихся в моём распоряжении моделей куба, 3ПГК-4 и 3ПГК-5 позволило выявить очень важную (главную!) особенность трёхмерных моделей и куба, поставленного в «интересное положение», и всех 3ПГК-n: все они в первом и в последнем «ярусах» представлены ввиде правильных n-угольных пирамид, где «n» соответствует n-мерности данной геометрической фигуры - данного n-мерного символа измерения.

Начнём с нашего куба - геометрического символа трёхмерного измерения. Рис. 1.2 более наглядно показывает верхнюю правильную треугольную пирамиду ABFD, расположенную (заключённую) в первом ярусе между параллельными плоскостями Р_I и Р_II [рис. 1.2 (б)], и нижнюю правильную треугольную пирамиду HCEG, расположенную (заключённую) в последнем, третьем «ярусе» между параллельными плоскостями Р_III и P_IV [рис. 1.2 (г)].

Выбрав любой ракурс изображения (фронтальную, горизонтальную, профильную прямоугольные проекции или общий вид) правильной треугольной пирамиды ABFD, мы по трём боковым рёбрам AB, AF и AD этой пирамиды, которые являются собственно рёбрами куба ABCDEFGH, можем построить этот куб именно в данном выбранном ракурсе (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций куба ABCDEFGH по соответствующим проекциям правильной треугольной пирамиды ABDF.

Требуется ли пояснять рис. 3.1 ? Думаю, любой геометр по трём рёбрам куба, сходящимся в одной вершине, сможет достроить сам куб. И не важно, в каком ракурсе изображены эти рёбра.

Например, я стараюсь рассмотреть и такой ракурс (т.н. «уклон»), когда геометрические символы n-мерного измерения (квадрат, куб, 3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6 и т.д.) рассматриваются в ракурсе наибольшего визуального совмещения вершин (и рёбер соответственно).

Этот ракурс достигается, когда направление линии «уклона» параллельно одному из боковых рёбер «исходной» n-угольной пирамиды: таким образом, это боковое ребро пирамиды и, соответственно, все остальные параллельные ему рёбра этого n-мерного геометрического символа на чертеже проецируются в виде точки - совмещённой вершины.

Именно в таком ракурсе выполнены чертежи куба (рис. 3.2), 3ПГК-4 (рис. 3.11), 3ПГК-5, 3ПГК-6 (рис. 3.24), 3ПГК-7 (рис. 3.36). Этот ракурс я ещё называю: «оригинальный ракурс».

Рис. 3.2

Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций куба ABCDEFGH по соответствующим проекциями правильной треугольной пирамиды ABDE в ракурсе наибольшего совмещения вершин.

Почему при черчении столь хорошо известного куба я уделяю большое внимание совмещению вершин и рёбер? - потому что куб проще и более понятен для осмысления.

А вот при черчении более сложных геометрических фигур - 3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6, и т.д., в которых количество вершин и рёбер значительно больше, чем в кубе, вероятность совмещения вершин и рёбер значительно возрастает, а точнее - в большинстве случаев избежать совмещения вершин и рёбер практически невозможно.

В этой работе требуются расчётные данные количества единичных элементов, составляющих 3ПГК-n. Поэтому ввожу табл. 2 из моих прошлых работ.

Таблица 2.

Главные принципы и особенности строения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов

Прежде чем приступить к построению (черчению) трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов, оговорим некоторые закономерности, особенности, главные принципы строения этих геометрических фигур.

Предлагаю вашему вниманию главные геометрические свойства и особенности трёхмерных проекций всех n-мерных гиперкубов (3ПГК-n) и разработанные принципы, методы, правила создания, построения и черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов (3ПГК-n).

• 1. Во всех n-мерных гиперкубах, а также и в их трёхмерных проекциях, в каждой вершине сходятся по n рёбер. То есть: в каждой из 16-ти вершин 3ПГК-4 сходятся по 4 ребра, в каждой из 32-х вершин 3ПГК-5 сходятся по 5 рёбер, в каждой из 64-х вершин 3ПГК-6 сходятся по 6 рёбер, и т.д.
• 2. Во всех трёхмерных проекциях n-мерных гиперкубов (см. рис. 1.1) в первом «ярусе» (то есть между параллельными плоскостями Р_I и Р_II) и в последнем «ярусе» (между параллельными плоскостями Р_n и Р_n+I) находятся по n рёбер, сходящихся в верхней вершине, расположенной в плоскости Р_I, и в нижней вершине, расположенной в плоскости Р_n+I.

Эти n рёбер можно (и нужно) представить как боковые рёбра правильной n-угольной пирамиды. Эти пирамиды назовём «исходными» пирамидами.

Вот это и есть очень важная ( главная ! ) для построения и черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов особенность:

• а) в любой 3ПГК-n в первом и в последнем «ярусах» заключена часть тела 3ПГК-n в виде правильной n-угольной пирамиды;
• б) по построенной «исходной» правильной n-угольной пирамиде в любом ракурсе, в любой проекции можно построить (начертить) и 3ПГК-n в выбранных ракурсах и проекциях.
• 3. Любое ребро n-мерного гиперкуба (ГК-n), а также его трёхмерной проекции (3ПГК-n) геометрически равно по длине и параллельно одному из n боковых рёбер т.н. «исходной» правильной n-угольной пирамиды, расположенной в первом или последнем «ярусе» ГК-n или 3ПГК-n.
• 4. Отрезок прямой в теле 3ПГК-n, соединяющий вершины, расположенные в параллельных плоскостях Р_I и Р_n+I , т.е. вершины верхней и нижней «исходных» правильных n-угольных пирамид (см. рис. 1.1), перпендикулярен этим плоскостям Р_I и Р_n+I и является главной осью симметрии 3ПГК-n.
• 5. В n-мерных гиперкубах, где n - чётное число, а также в их трёхмерных проекциях (т.е. в 3ПГК-4, 3ПГК-6, 3ПГК-8, 3ПГК-10, и т.д.), обязательно существуют геометрически обусловленные совмещённые (сдвоенные) вершины, расположенные в точках пересечения визуально проведённой главной оси симметрии 3ПГК-n с визуально обозначенными на рис. 1.1 параллельными плоскостями: Р_III - в 3ПГК-4; Р_III и Р_V - в 3ПГК-6; Р_III , Р_V и Р_VII - в 3ПГК-8, и т.д.

В этих геометрически обусловленных совмещённых (сдвоенных) вершинах 3ПГК-n соответственно сходятся по 2n рёбер, вот почему я написала фразу: «… в большинстве случаев избежать совмещения вершин и рёбер практически невозможно».

6. При изображении 3ПГК-n (черчении или фотографировании их моделей) в разных ракурсах возможны визуальные совмещения любых вершин, а также визуальные совмещения рёбер, граней и даже кубов.