Построение (черчение) трёхмерных проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

На рис. 3.3 представлено построение горизонтальной (H^I), фронтальной (V^I) и профильной (W^I) проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды.

А на рис. 3.4 показана последовательность построения (черчения) на рис. 3.3 фронтальной (V^I) проекции 3ПГК-4 по фронтальной (V) проекции «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды.

Данный метод (принцип, способ) построения (черчения) горизонтальной, фронтальной и профильной проекций 3ПГК-4 состоит в том, что в соответствующих им горизонтальной, фронтальной и профильной проекциях «исходной» пирамиды к каждой вершине последовательно достраиваются ещё три недостающих боковых ребра этой пирамиды.

Рис. 3.3.Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям правильной «исходной» четырёхугольной пирамиды P_гE_гF_гG_гH_г

Рис. 3.4. Последовательность построения (черчения) фронтальной проекции V^I 3ПГК-4 по фронтальной проекции V «исходной» правильной четырехугольной пирамиды P'E'_гF'_гG'_гH'_г .

а) - фронтальная проекция «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды PE_гF_гG_гН_г .

Продолжение рис. 3.4. Последовательность построения (черчения) фронтальной проекции V^I 3ПГК-4 по фронтальной проекции V «исходной» правильной четырехугольной пирамиды P'E'_гF'_гG'_гH'_г .

а) - фронтальная проекция правильной четырёхугольной пирамиды PE_гF_гG_гН_г - кружком обозначены вершины проекции V' 3ПГК-4, к которым в данном чертеже (б,в,г,...,н) были построены недостающие ребра проекции V пирамиды; эти ребра отмечены «галочками».

Предлагаю вашему вниманию важный для понимания 3ПГК-4 ракурс (рис. 3.5.). В этом ракурсе в «исходной» пирамиде 3ПГК-4 во фронтальной и профильной проекциях визуально совмещены две пары боковых рёбер пирамиды, в результате чего в чертежах фронтальной, профильной и даже горизонтальной проекциях 3ПГК-4 произошло визуальное совмещение пяти пар вершин, и соответственно, шестнадцати пар рёбер!

Рис. 3.5. Построение горизонтальной (H'), фронтальной (V') и профильной (W') проекций трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям правильной четырёхугольной «исходной» пирамиды P'E'_гF'_гG'_гH'_г в выбранном ракурсе. Т Для наглядности: в проекциях H' и H'₁ - небольшое изменение ракурса. Кружками отмечены совмещённые вершины.

В этом же рис. 3.5 для наглядности, т.е. лучшего понимания расположения вершин и рёбер проекций 3ПГК-4, дополнительно начерчены в горизонтальных проекциях «исходная» пирамида и 3ПГК-4 в слегка изменённом ракурсе.

Этот способ построения (черчения) проекций 3ПГК-n - лёгкое, очень небольшое изменение ракурса - очень удобно применять, особенно при построении горизонтальных проекций 3ПГК-4.

Все горизонтальные проекции 3ПГК-n в идеально правильном исполнении чертежа, построенные (начерченные) с помощью соответствующей горизонтальной проекции «исходной» правильной n-угольной пирамиды, обязательно имеют совмещения вершин (визуальные или реальные, фактические - геометрически обусловленные) и рёбер (только визуально полностью или частично совмещённые).

В самих n-мерных гиперкубах (ГК-n) могут быть совмещены вершины, но не может быть совмещённых рёбер, граней, кубов.

Я не рекомендовала бы вам, уважаемые геометры, сразу приступать к черчению идеально правильных горизонтальных проекций 3ПГК-n, потому что очень трудно осмыслить как, в какой последовательности происходит совмещение вершин, рёбер и даже граней в чертеже.

Вот поэтому я сначала выбираю горизонтальную проекцию «исходной» правильной n-угольной пирамиды в слегка изменённом ракурсе и последовательно, как показано на рис. 3.6, строю (черчу) соответствующую проекцию 3ПГК-n.

Заметьте, что при последовательном черчении проекций 3ПГК-4 на рис. 3.6 я, так сказать, иду по крайним вершинам.

Рис. 3.6. Последовательность построения (черчения) проекций Н'₁ 3ПГК-4 в рис. 3.5 (слегка изменённого ракурса горизонтальной проекции Н') по соответствующей проекции Н₁ «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды P₁E_г1F_г1G_г1H_г1.

Продолжение рис. 3.6. Затемнёнными кружками отмечены вершины, к которым в данном чертеже (б, в,с, …, н) были построены недостающие рёбра; эти рёбра отмечены «галочками».

Думаю, представляет интерес следующий ракурс изображения (черчения) фронтальной (V^I) и профильной (W^I) проекций 3ПГК-4 на рис. 3.7.

Рис. 3.7.Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды PE_гF_гG_гH_г.

Для осмысления, например, фронтальной проекции 3ПГК-4 достаточно слегка изменить ракурс (см. рис. 3.8) и фронтальная проекция "исходной" пирамиды (а) на рис. 3.8 примет вид (а₁).

Рис. 3.8. а) и б) - из рис. 3.7 - фронтальные проекции «исходной» пирамиды (V) и 3ПГК-4 (V'); а₁) и б₁) - то же, в слегка изменённом ракурсе - для наглядности;«кружочками» отмечены совмещённые вершины.

На рисунках 3.9, 3.10 и 3.11 предлагаю вашему вниманию чертежи трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) в наиболее важных ракурсах. Причём для наглядности и лучшего понимания расположения на чертежах вершин и рёбер 3ПГК-4 в этих рисунках справа представлены чертежи 3ПГК-4 в слегка изменённом ракурсе.

Кстати, на рис. 3.11 (б) 3ПГК-4 представлена в «самом оригинальном ракурсе» - на чертеже все вершины 3ПГК-4 визуально совмещены.

Рис. 3.9. б) - чертёж 3ПГК-4 в оригинальном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды (а); б₁) - для наглядности: то же, в слегка измёненном ракурсе.

Рис. 3.10. б) - чертёж 3ПГК-4 в оригинальном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды (а); б₁) - для наглядности: то же, в слегка изменённом ракурсе.

Рис. 3.11. б) - чертёж 3ПГК-4 в важном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды [a)]; б₁) - для наглядности: то же, в слегка изменённом ракурсе.

Глядя на чертежи, возможно, вам трудно будет поверить, что это действительно чертежи 3ПГК-4. Но я из трубочек и лески создала несколько экземпляров моделей 3ПГК-4 и 3ПГК-5 и развесила их по всей квартире, чтобы они везде были на виду, и поэтому я имею возможность рассматривать их в разных ракурсах.

Вы можете сами начертить «исходную» правильную n-угольную пирамиду 3ПГК-n в абсолютно любом ракурсе и, пользуясь тем или иным методом, начертить соответствующую проекцию 3ПГК-n. И вовсе не обязательно в одном чертеже классически строить одновременно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции, - профессиональному геометру по виду начерченной «исходной» правильной n-угольной пирамиды 3ПГК-n уже понятно, в каком ракурсе начерчена проекция 3ПГК-n.

О внешнем виде всех 3ПГК-n :

Вот аналогия: все 3ПГК-n как на их чертежах, так и в самих моделях, своей внешней геометрической формой напоминают «юлу» (или волчок). И чем выше измерение, тем всё более и более 3ПГК-n напоминает форму «юлы».

В идеально построенных чертежах 3ПГК-n, где n ? 5, существует только одна горизонтальная проекция 3ПГК-n, фронтальных и профильных проекций - сколь угодно много, а проекций в ракурсах под определённым углом зрения - бесчисленное множество.

Итак, чтобы построить горизонтальную проекцию 3ПГК-n, надо сначала построить горизонтальную проекцию её «исходной» правильной n-угольной пирамиды, то есть построить правильный n-угольник. - Всего-то!

Ещё раз обращаю ваше внимание на факт, что на тетрадном листе бумаги «в клетку» через вершины квадратных «клеток», кроме самого квадрата, невозможно построить все остальные правильные многоугольники (треугольник, пятиугольник, шестиугольник, …, десятиугольник, …, и т.д.).

Я каждое ребро многоугольника в моих чертежах рассматриваю как гипотенузу и проверяю её теоремой Пифагора. Пытаясь построить эти правильные многоугольники «по вершинам «клеток»», я добиваюсь наименьшей погрешности в чертежах.

Казалось бы, черчение 3ПГК-n «по вершинам клеток» - недостаток. Но! Но этот «недостаток» можно превратить в «достоинство» данного способа построения проекций 3ПГК-n, особенно при построении горизонтальных проекций 3ПГК-n. Как я уже писала, я не советовала бы вам начинать построение горизонтальных проекций 3ПГК-n, пользуясь идеально правильной проекцией «исходной» правильной n-угольной пирамиды, - у вас будет на чертежах (особенно при n = чётному числу) совмещение вершин, рёбер, граней и даже кубов. Это нормально, правильно. Чаще всего это - визуальное совмещение.