Метод построения горизонтальной проекции 3ПГК-n
3.15 на примере построения трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5).
Рис. 3.15 (см. продолжение). Этапы построения горизонтальной проекции 3ПГК-5.
Продолжение рис. 3.15. Этапы построения горизонтальной проекции 3ПГК-5.
Создание абриса с помощью начерченных «исходных» правильных n-угольных пирамид в любом ракурсе, в любой другой проекции я несколько упростила (см. рисунки 3.16, 3.18, 3.19, 3.20, 3.23, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30 и др.), т.е. достаточно начертить «исходную» правильную n-угольную пирамиду в любом ракурсе, в любой проекции, пронумеровать n её боковых рёбер в определённом направлении (слева направо или справа налево) и, начиная с вершины +S, в том же выбранном направлении последовательно, ребро за ребром, соединить все n рёбер, - поставить точку -S; теперь от вершины -S в той же последовательности ребро за ребром соединить все n рёбер, - абрис в виде замкнутого круга готов.
В случаях, когда проекция «исходной» пирамиды содержит совмещённые на чертеже боковые рёбра, то именно эти рёбра и в абрисе, и в данной проекции 3ПГК-n всегда откладываются дважды (см. рисунки 3.19, 3.20, 3.28, 3.29, 3.35 ).
Метод построения (черчения) по созданному абрису всех 3ПГК-n представлен на рис. 3.15.
На рис. 3.17 (б) представлен идеальный чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5).
Думаю, вы согласитесь со мной, что осмыслить идеальный чертёж 3ПГК-5 намного легче с помощью вспомогательного (рабочего) чертежа 3ПГК-5 (рис. 3.17, а), построенного «по клеткам», где все вершины, рёбра, грани индивидуально выражены. Вот это и есть достоинство строения (черчения) всех проекций 3ПГК-n «по клеткам».
Рис. 3.16.
Рис. 3.17. Чертежи горизонтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5).
Уважаемые геометры! У вас есть компьютеры. Прежде, чем оценивать мою работу, пожалуйста, с помощью компьютерной графики достройте чертёж ГП 3ПГК-9 на рис. 3.14 - это очень интересно. Чертить этот чертёж на бумаге карандашом, как это делаю я, очень трудно - от обилия линий (2304 ребра) не выдерживает, вспучивается бумага (см. рис. 3.39 и 3.41) и подводит зрение. А вы на компьютере можете каждую деталь чертежа увеличить в масштабе.
Итак, чертежи трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) уже представлены в этой работе во всех проекциях и интересных ракурсах.
Предлагаю вашему вниманию чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях: горизонтальной (HI), фронтальной (VI) и профильной (WI), построенных с помощью соответствующих трёх проекций (H, V и W) «исходной» правильной пятиугольной пирамиды SADCDE, горизонтальной проекции полигона измерений и созданных соответствующих данным проекциям абрисов (см. рис. 3.18, 3.19 и 3.20).
Рис. 3.18. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE и полигона измерений.
Рис. 3.19. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE в трёх соответствующих проекциях (H, V и W) и полигона измерений.
Рис. 3.20. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE и полигона измерений.
На рис. 3.21 представлены чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) во фронтальной (или профильной) проекции, причём в одном чертеже 3ПГК-5 есть визуальное совмещение двух рёбер, а следовательно, и вершин; во втором случае - чертёж 3ПГК-5 представлен без совмещения рёбер и вершин; и первый и второй ракурсы изображения вполне реальны.
Рис. 3.21. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) во фронтальной (или профильной) проекции.
Рис. 3.22. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в разных ракурсах.
Рис. 3.22, надеюсь, укрепит вашу уверенность в возможности построения 3ПГК-n в разных ракурсах.
Чертить на одной странице 3ПГК-n, где n больше пяти (т.е. 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д.) в трёх проекциях (горизонтальной, фронтальной и профильной) трудно из-за тесноты площади страницы, поэтому различные 3ПГК-n в различных ракурсах и проекциях предлагаю вам избирательно и обзорно.
Надеюсь, по полигону измерений или по виду проекции «исходной» пирамиды, начерченных к каждому чертежу 3ПГК-n, вам не трудно будет сориентироваться в проекциях, методах и способах построения самих чертежей 3ПГК-n.
В этой работе я хочу убедить вас, что с помощью изображения «исходной» правильной n-угольной пирамиды в любой проекции, в любом ракурсе (что не составит труда для любого геометра) можно начертить соответствующий чертёж 3ПГК-n в той же проекции и в том же ракурсе - что и является универсальным методом построения (черчения) 3ПГК-n.
По любой проекции «исходной» правильной n-угольной пирамиды стройте абрис. АБРИС УЖЕ СОДЕРЖИТ ВСЮ НЕОБХОДИМУЮ ИНФОРМАЦИЮ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ (ЧЕРЧЕНИЯ) 3ПГК-n В ВЫБРАННЫХ ПРОЕКЦИЯХ ИЛИ РАКУРСАХ.
Продолжим обзор построения (черчения) 3ПГК-n в различных ракурсах, разумеется, переходя к более высоким измерениям.
Среди множества созданных чертежей 3ПГК-n я ищу чертежи наиболее интересных ракурсов.
Предлагаю вашему вниманию рис. 3.23 и рис.3.24. Чертежи рис. 3.23 радуют меня своей элегантностью, совершенством линий - воистину, это - Геометрия Высших Миров.
Рис. 3.23.Чертежи трёхмерных проекций: а) - четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) ,б) - пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) ,в) - шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Ракурс: вид сбоку-сверху
Рис. 3.24. Самый оригинальный ракурс черчения 3ПГК-n: параллельный одному ребру «исходной» пирамиды.
Рис. 3.25. Чертежи трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Ракурсы: а) вид сверху - слегка смещённый; б) горизонтальная проекция 3ПГК-6.
Рис. 3.26.Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6).Фронтальная проекция.
Рис. 3.27. Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Фронтальная проекция.
Рис. 3.28. Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Фронтальная проекция.
Рис. 3.29. Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Фронтальная проекция.
Рис. 3.30.Чертеж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Ракурс: вид сбоку-сверху.
Ракурс же чертежей рис. 3.24 оригинален тем, что чертежи 3ПГК-4 и 3ПГК-5 содержат минимально возможные количества вершин и рёбер, а чертёж 3ПГК-6 по минимальности количества вершин и рёбер уступает только чертежу своей горизонтальной проекции.
Чертёж горизонтальной проекции 3ПГК-6 представлен на рис. 3.25 (б). Чертёж прост, как пять копеек. Но что стоит за этой простотой? Чтобы понять это, надо (помните? - я это уже писала) слегка, чуть-чуть изменить ракурс [см. чертёж (а)], и вот этот чертёж (а) покажет что скрывается за этой величественной простотой. Какое колоссальное визуальное совмещение вершин, рёбер, граней, кубов!
Повторяю: горизонтальная проекция у всех 3ПГК-n только одна. При построении (черчении) горизонтальных проекций 3ПГК-n следует помнить, что:
- 1) при n равном чётному числу (т.е. n = 4, 6, 8, 10, 12, …) горизонтальная проекция 3ПГК-n будет содержать кроме собственных геометрически обусловленных совмещённых вершин ещё очень значительное визуальное совмещение вершин, рёбер, граней, кубов (см. рис. 3.25, 3.37, 3.40, 3.42);
- 2) при n равном нечётному числу (т.е. n = 5, 7, 9, 11, …) горизонтальная проекция 3ПГК-n имеет только две совмещённые вершины: +S и -S, но это - визуальное совмещение, необходимое при построении именно этой проекции; однако в этих горизонтальных проекциях 3ПГК-n будет очень большое число частичных совмещений рёбер на чертеже, т.е. одно ребро визуально совмещается с другим ребром только частью своей длины (см. рис. 3.17, 3.32).
Предлагаю вашему вниманию 4 чертежа трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) в разных ракурсах её фронтальных проекций (см. рис. 3.26, 3.27, 3.28 и 3.29). Обратите внимание: в этих чертежах взяты основные ракурсы фронтальной проекции «исходной» пирамиды - и как разительно при этом меняется сама фронтальная проекция 3ПГК-6 !
А вот очень интересный ракурс изображения 3ПГК-6 (см. рис. 3.30). Этот чертёж даёт очень наглядное представление о расположении граней и кубов в 3ПГК-6, а также о расположении геометрически обусловленных совмещённых вершин.
Считаю, что и 3ПГК-4, и 3ПГК-5, и 3ПГК-6 достаточно представлены в разных своих ракурсах и проекциях.
Переходим к чертежам трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7)
Горизонтальная проекция 3ПГК-7 представлена в виде рабочего чертежа (см. рис. 3.31), построенного «по клеткам», и так называемого мною «идеального» чертежа (см. рис. 3.32). Правильные многоугольники для построения «идеальных» чертежей я строю с помощью линейки, циркуля и транспортира.
Рабочий чертёж горизонтальной проекции 3ПГК-n даёт возможность проследить не только расположение каждого ребра в отдельности, но и выявить схему построения её «идеальной» проекции.
Рис. 3.31. Рабочий чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).
