Метод построения трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) на чертеже
Итак, создав из трубочек и лески модель трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) (см. фотографию 1), приступим к построению 3ПГК-4 на чертеже, то есть перенесём 3ПГК-4 во второе измерение - на плоскость листа бумаги (см. рис. 2.3).
Фото 1.
На чертеже строим куб ABCDEFGH, приняв длину ребра куба равной величине «a», и через вершины куба проводим оси +Т-Т, +Xг-Xг, +Yг-Yг и +Zг-Zг новой трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения.
Так как на созданной мной модели 3ПГК-4 видно, что восемь внутренних рёбер модели сходятся в центре 3ПГК-4, причём своим взаимным положением относительно друг друга эти восемь внутренних рёбер полностью соответствуют всем осям трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения, то, следовательно, на продолжении новых осей координат и расположатся восемь вершин (AГ, BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ) трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба.
Рис. 2.3.
Расстояние от центра O до этих вершин равно длине ребра 3ПГК-4 «aг», при этом , то есть удвоенному расстоянию от центра O до лежащей на этой оси вершины проекции исходного куба. При этом полученные восемь вершин 3ПГК-4 обозначены буквой, соответствующей вершине исходного куба, но с индексом «г» - от слова гиперкуб, т.е. AГ, BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ .
Например, строим вершину Аг: по оси О+Zг от точки А надо отложить отрезок, равный ОА, ставим точку Аг , и так как , то ; строим вершину Fг : по оси О+Т от точки F откладываем отрезок, равный OF, ставим точку Fг ; и т.д.
Итак, определены восемь вершин 3ПГК-4, причём координаты этих вершин легко определяются: так как эти вершины лежат непосредственно на осях, то они по этим осям имеют координату «аг» со знаком, соответствующим этой оси, а три остальные координаты - равны нулю.
Например, вершина Аг лежит на оси O+Zг , следовательно, вершина Аг имеет координаты: Т = 0, Xг = 0, Yг = 0, Zг = +aг ; вершина Dг лежит на оси О-Т, следовательно, вершина Dг имеет координаты: Т = -аг , Xг = 0, Yг = 0, Zг = 0 ; и т.д.
Теперь через все эти восемь вершин проводим вспомогательные линии, параллельные оставшимся трём осям координат, - для каждой точки отдельно. Причём, учитывая, что положительные части осей на чертеже проведены сплошными линиями, а отрицательные части осей проведены пунктирными линиями, и то, что в этих вершинах именно эти три оси имеют значение ноль, надо вспомогательные линии, параллельные осям, проводить в соответствии их знаковым значениям: то есть эти точки являются границами между положительными и отрицательными частями этих вспомогательных линий.
Проведя все эти вспомогательные линии через точки AГ , BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ , на чертеже появятся шесть точек, в которых пересеклись по четыре вспомогательных линии. Вот они-то, эти шесть точек, и являются теми вершинами, лежащими на поверхности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба, в которых сходятся по четыре ребра, образующие четыре острых углов ромбов. Обозначим эти вершины: K, L, M, N, P и Q .
Итак, определены 14 вершин на поверхности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба. Вспомним, что две вершины (О1 и О2) этой проекции (3ПГК-4) совместились с центром О. Координаты всех 16-ти вершин трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба сведены в таблицу 2.2.
Для того, чтобы проще было представить себе тело трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба, даю промежуточный чертёж (рис. 2.4), где соединены только вершины, лежащие на поверхности 3ПГК-4.
Таблица 2.2.
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
K |
L |
M |
N |
P |
Q |
||
|
0 |
0 |
||||||
|
0 |
0 |
||||||
|
0 |
0 |
||||||
|
0 |
0 |
Рис. 2.4.
А на рисунке 2.5 уже показаны и восемь внутренних рёбер, и чертёж трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба представлен в полном виде
Рис. 2.5.
