Геометрические особенности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

Давайте осмыслим геометрические особенности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4), построенного с помощью трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

На рис. 2.6 представлен чертёж 3ПГК-4, начерченный только по вершинам 3ПГК-4, без осей координат и вспомогательных линий; для удобства масштаб чертежа уменьшен в два раза.

Обратите внимание: через вершины трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) вписывается куб A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г . Это очень важный факт для осмысления 3ПГК-4. Рисунок 2.7 даёт очень наглядное представление о расположении вершин, рёбер, граней 3ПГК-4. Смотрите: восемь внутренних рёбер 3ПГК-4 (A_гO, B_гO, C_гO, D_гO, E_гO, F_гO, G_гO и H_гO) расположены на больших диагоналях вписанного в 3ПГК-4 куба, а четыре ребра 3ПГК-4 (E_гP, F_гP, G_гP и H_гP) образуют четырёхугольную пирамиду PE_гF_гG_гH_г с основанием квадрата E_гF_гG_гH_г , который является одной из шести граней вписанного в 3ПГК-4 куба. Причём, (что очень важно!) рёбра этой пирамиды параллельны большим диагоналям вписанного в 3ПГК-4 куба, т.е. PE_г || G_гA_г, PF_г || H_гB_г, PG_г || E_гC_г и PH_г || F_гD_г , при этом PE_г = G_гO, PF_г = H_гO, PG_г = E_гO и PH_г = F_гO (разумеется, в точке О совмещены две вершины О₁ и О₂). А из этого следует, что пирамида PE_гF_гG_гH_г геометрически равна пирамиде OE_гF_гG_гH_г .

Вершина Р является общей для шести граней-ромбов, равных между собой, причём четыре ромба (PE_гKF_г , PF_гNG_г , PG_гLH_г и PH_гQE_г) являются внешними гранями 3ПГК-4, а два ромба (PE_гOG_г и PF_гOH_г) являются внутренними гранями.

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

В рисунке 1.1 показано, что 3ПГК-4 пересекают пять параллельных между собой плоскостей, равноотстоящих друг от друга. Так вот, по рисункам 2.6 и 2.7 расположение этих пяти плоскостей определится следующим образом: вторая плоскость (Р_II) проходит через вершины E_Г , F_Г , G_Г и H_Г ; четвёртая плоскость (Р_{I V}) проходит через вершины A_Г , B_Г, C_Г и D_Г ; третья плоскость (Р_Ш) проходит через вершины Q, K, O₁, O₂, N и L ; а первая (P_I) и пятая (Р_V) плоскости проходят через вершины P и M соответственно.

Итак, на примере только одной пирамиды PE_гF_гG_гH_г определены некоторые очень важные свойства трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). Но если учесть, что остальные пять пирамид, построенные на других пяти гранях вписанного куба, геометрически равны пирамиде PE_гF_гG_гH_г , то, осмыслив безупречную симметрию и гармонию 3ПГК-4, можно только изумляться совершенству трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба.

Совершенство трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) подтверждается и тем, что через вершины 3ПГК-4 можно построить не только вписанный куб A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г , но и описанный куб A'B'C'D'E'F'G'H' - через вершины P, Q, K, N, L и M (см. рис. 2.8). А через вершины нашего вписанного куба, как известно математикам, легко вписывается ещё одно «тело Платона» - тетраэдр. Кроме того, через шесть вершин 3ПГК-4 (P, Q, K, N, L и M) вписывается и ещё одно «тело Платона» - октаэдр (см. рис. 2.9). Рёбрами этого октаэдра являются 12 больших диагоналей ромбов - всех 12-ти внешних граней 3ПГК-4. А так как поверхность трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба состоит из 12-ти ромбов, то эта геометрическая фигура называется ещё ромбододекаэдром (см. рис. 2.8).

Предлагаю вашему вниманию рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13. Это одна и та же геометрическая фигура - трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). В этих чертежах нет искажений, я старалась выполнить их точно. Вершины, обведённые кружками, - это совмещённые вершины. Не правда ли, как легко можно начертить 3ПГК-4 (рис. 2.12, рис. 2.13) ?!

Рис. 2.8.

Рис. 2.9.

Рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет 13 осей симметрии: семь осей симметрии проходят через 14 противоположных вершин, расположенных на поверхности 3ПГК-4 (PM, QN, LK, E_гC_г, F_гD_г, G_гA_г и H_гB_г), и шесть осей симметрии проходят через центры двенадцати противолежащих ромбов (граней), образующих поверхность 3ПГК-4.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет 9 плоскостей симметрии: PG_гC_гMA_гE_г , PF_гB_гMD_гH_г , NC_гD_гQE_гF_г, NB_гA_гQH_гG_г, KA_гD_гLG_гF_г , KE_гH_гLC_гB_г , PNMQ, PKML и KNLQ.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет три сферы с центром О₁О₂: большая сфера описывает вершины P, N, K, Q, L и M, средняя сфера описывает вершины A_г, B_г, C_г, D_г, E_г, F_г, G_г и H_г , а меньшая сфера вписывается через центры всех двенадцати граней (ромбов), образующих поверхность 3ПГК-4.