Об элементах, составляющихтрёхмерную проекцию четырёхмерного гиперкуба

Математики давно просчитали, что четырёхмерный гиперкуб (ГК-4) состоит из 16-ти вершин, 32-х рёбер, 24-х граней и 8-и кубов. Предложенная мною трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) полностью соответствует этим расчётам (см. рисунки 2.5, 2.6, 2.10). Причём все рёбра, все грани и все кубы абсолютно равны между собой (геометрически, а не физически).

Вершины 3ПГК-4

3ПГК-4 содержит 16 вершин: A_г, B_г, C_г, D_г, E_г, F_г, G_г, H_г, O₁, O₂, K, L, M, N, P и Q. Координаты по четырём осям (X_г, Y_г, Z_г и T) всех 16-ти вершин 3ПГК-4 указаны в таблице 2.2. 14 вершин расположены на поверхности 3ПГК-4, а две вершины (О₁ и О₂) совмещены в центре 3ПГК-4.

Совмещённые две вершины О₁ и О₂ , я думаю, говорят нам о том, что (образно) наш трёхмерный куб в четырёхмерном пространстве под воздействием присущей этому пространству дополнительной, ещё неведомой нам энергии не просто перемещается, а ещё и вращается, вращается вокруг вершины (как, примерно, Земля, вращаясь вокруг своей оси, движется по орбите).

Говоря здесь о вершинах О₁ и О₂ , совмещённых в одну точку О, будем иметь в виду, что все ниже перечисленные свойства вершин присущи индивидуально и вершинам О₁ и О₂ , но совместившись в точке О, эти свойства количественно складываются.

Итак, каждая вершина 3ПГК-4 обладает следующими свойствами:

• 1) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по четыре ребра. При этом: в вершинах K, L, M, N, P и Q сходятся 4 внешних ребра (например, в вершине K сходятся рёбра KA_г, KB_г, KF_г и KE_г); в вершинах A_г, B_г, C_г, D_г, E_г, F_г, G_г и H_г сходятся по три внешних ребра и одно внутреннее ребро (например, в вершине А_г сходятся рёбра A_гK, A_гM, A_гQ и A_гO); в вершинах О₁ и О₂ сходятся по 4 внутренних ребра, всего в точке О сходятся восемь внутренних рёбер;
• 2) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по шесть граней, т.е. каждая вершина является общей вершиной для шести граней, например: а) в вершине Р сходятся грани PE_гKF_г, PF_гNG_г, PG_гLH_г, PH_гQE_г, PE_гO₁G_г и PF_гO₁H_г; б) в вершине E_г сходятся грани E_гQA_гK, E_гKF_гP, E_гPH_гQ , E_гQD_гO₂, E_гO₁G_гP и E_гKB_гO₂ ; в) в вершине O (O₁ и O₂) сходятся все 12 внутренних граней: A_гOF_гK, A_гOH_гQ , A_гOC_гM, B_гOE_гK, B_гOD_гM, B_гOG_гN, C_гOH_гL, C_гOA_гM, C_гOF_гN, D_гOG_гL, D_гOE_гQ и D_гOB_гM ;
• 3) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по 4 куба. Например:
  • а) в вершине P сходятся 4 куба: PH_гQE_гF_гO₁A_гK, PE_гKF_гG_гO₁B_гN, PF_гNG_гE_гKB_гO₁ и PG_гLH_гE_гO₁D_гQ;
  • б) в вершине A_г сходятся 4 куба: A_гKE_гQO₂F_гPH_г, A_гMB_гKO₂C_гNF_г, A_гQD_гMKE_гO₂B_г и A_гQD_гMO₂H_гLC_г; в) как видим, центр O, т.е. точка совмещённых вершин O₁ и O_{2 ,} является общей вершиной для всех восьми кубов 3ПГК-4.

Рёбра 3ПГК-4

Ко всему, что сказано выше о рёбрах 3ПГК-4, можно добавить, что рёбра 3ПГК-4 обладают ещё и следующими свойствами:

• 1) каждое ребро 3ПГК-4 принадлежит трём граням. Например:
  • а) ребро PE_г принадлежит граням PE_гQH_г, PE_гKF_г и PE_гO₁G_г ;
  • б) ребро A_гK принадлежит граням A_гKB_гM, A_гKF_гQ и A_гKF_гO₂ ;
  • в) ребро O₂А_г принадлежит граням O₂A_гQH_г, O₂A_гMC_г и O₂A_гKF_г;
• 2) каждое ребро 3ПГК-4 принадлежит трём кубам. Например:
  • а) ребро PE_г принадлежит кубам PE_гQH_гG_гO₁D_гL, PE_гKF_гH_гQA_гO₁ и PE_гO₁G_гF_гKB_гN ;
  • б) ребро A_гK принадлежит кубам A_гKB_гMQE_гO₂D_г , A_гKE_гQO₁F_гPH_г и A_гKF_гO₂MB_гNC_г ;
  • в) ребро O₂A_г принадлежит кубам O₁A_гQH_гF_гKE_гP , O₂A_гMC_гH_гQD_гL и O₂A_гKF_гC_гMB_гN.

Единичная грань 3ПГК-4

Гранью трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) является ромб (см. рис. 2.15, 2.17).

Определимся с размерностью геометрических параметров ромба PE_гKF_г. Здесь нам очень помогут геометрические параметры вписанного в 3ПГК-4 куба A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г. Примем, что длина ребра ромба PE_гKF_г , а следовательно, и самой трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) равна величине «а»; длину малой диагонали E_гF_г ромба обозначим через «d», а длину большой диагонали PK ромба обозначим через «D».

Рисунки 2.14, 2.15, 2.16 и 2.17.

Из чертежа рис. 2.15 нетрудно заметить, что длина ребра «а» 3ПГК-4, а следовательно, и ромба, равна половине большой диагонали вписанного в 3ПГК-4 куба A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г ; малой диагональю (E_гF_г) ромба является ребро этого вписанного куба, а большой диагональю ромба (PK = D) является диагональ боковой грани (квадрата) этого вписанного куба.

Из вышесказанного, пользуясь теоремой Пифагора, можно написать: , т.е.

. (2.5)

Результаты простых расчётов взаимосоотношений главных определяющих параметров ромба (грани 3ПГК-4) a, d и D приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3.

a большой диагоналивписанного куба	dребро вписанного куба	D малая диагональ вписанного куба
a	Ребро ЗПГК-4, ребро ромба
d	Малая диагональ ромба
D	Большая диагональ ромба

Результаты расчётов, приведённые в таблице 2.3, потребуются для вычисления других геометрических параметров 3ПГК-4.

Гранью трёхмерной проекции гиперкуба любого n-мерного измерения (3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6, …, 3ПГК-n) является ромб и только ромб. Очень важной геометрической характеристикой ромба является соотношение его большой и малой диагоналей (D/d). В многомерной геометрии это соотношение для каждого измерения строго определённо и неизменно. Так, в квадрате (символ второго измерения) соотношение его диагоналей равно единице (1); грань трёхмерного куба также сохраняет это соотношение (1), т.к. его гранью является квадрат. Невозможно хотя бы слегка изменить соотношение диагоналей в квадрате - иначе квадрат теряет своё звание.

В 3ПГК-4 отношение большей диагонали ромба (грани) к меньшей определится:

(2.6)

Ко всему, что сказано о единичных гранях (ромбах) 3ПГК-4 в этой главе, надо добавить, что каждая единичная грань 3ПГК-4 принадлежит одновременно двум кубам. Например: 1) грань PH_гQE_г принадлежит кубу PH_гQE_гG_гLD_гO₁ и кубу PH_гQE_гF_гO₁A_гK ; 2) грань PE_гKF_г принадлежит кубу PE_гKF_гH_гQA_гO₁ и кубу PE_гKF_гG_гO₁B_гN.