Единичный куб 3ПГК-4

Как видно из чертежей рисунков 2.14, 2.15 и 2.16, единичные кубы трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) можно построить не только при вершинах A_г и B_г вписанного в 3ПГК-4 куба A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г, но и при остальных шести вершинах этого вписанного куба. Таким способом легко определить все восемь (8) единичных кубов, образующих 3ПГК-4.

Геометрические особенности единичного куба 3ПГК-4

Чтобы понять, как выглядит единичный куб 3ПГК-4, представьте себе трёхмерный куб с длиной ребра «а». Этот куб имеет 4 больших диагонали, равных между собой, длина которых равна . Так вот, теперь одну из этих больших диагоналей уменьшите до величины ребра куба (т.е. до величины «а») так, чтобы три других диагонали, увеличившись при этом по длине, были равны между собой. Вот вы и получили единичный куб 3ПГК-4.

Что-то мне не приходит на ум, как правильно назвать эту фигуру. Ромбогексаэдр? Или просто четырёхгранной призмой? Поправьте, пожалуйста, если я ошиблась.

Определим объём единичного куба B_гNC_гMKF_гO₂A_г трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба V_е.к. (см. рис. 2.18).

Рис. 2.18.

Так как по определению единичный куб 3ПГК-4 - это четырёхгранная призма, то её объём определится как произведение площади основания этой призмы на высоту этой призмы. Примем за основание этой призмы грань B_гNC_гM. Площадь единичной грани 3ПГК-4 (S_е.г.), которой является ромб B_гNC_гM, равна половине произведения диагоналей этого ромба, т.е.

. (2.8)

Из таблицы 2.3 возьмём значение D через d: и выразим S_е.г. только через d:

(2.9)

Высотой h в этой четырёхгранной призме является отрезок В_гТ, т.е. h = B_гT. Из равнобедренного прямоугольного треугольника A_гB_гF_г (где A_гB_г = B_гF_г = d и A_гF_г = D) легко определить, что отрезок B_гT = h равен 1/2•A_гF_г и является собственно половиной диагонали B_гE_г = D (см. рис. 2.15) в грани (квадрате) A_гB_гF_гE_г вписанного в 3ПГК-4 куба. Следовательно,

. (2.10)

Тогда объём четырёхгранной призмы B_гNC_гMKF_гO₂A_г, т.е. объём единичного куба 3ПГК-4 (V_е.к.) определится:

. (2.11)

Замечательно, что величина «d³» - это объём вписанного в 3ПГК-4 куба A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г, ребро которого обозначено через d.

Итак, вычислено, что объём единичного куба 3ПГК-4 (V_е.к.) равен половине объёма вписанного в 3ПГК-4 куба.

Объём всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 соответственно определится:

. (2.12)

Определим объём тела трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (V_3ПГК-4). Вернёмся к рис. 2.7 и 2.15.

При обсуждении чертежа на рис. 2.7 было доказано, что четырёхугольная пирамида PE_гF_гG_гH_г геометрически равна пирамиде O₁E_гF_гG_гH_г. При этом следует иметь в виду, что пирамида PE_гF_гG_гH_г - внешняя по отношению к вписанному в 3ГПК-4 кубу и таких внешних пирамид - шесть, но ведь и сам вписанный в 3ПГК-4 куб состоит из шести внутренних четырёхугольных пирамид. А так как все двенадцать пирамид геометрически равны между собой, то общий объём шести внешних пирамид также равен объёму вписанного в 3ПГК-4 куба, следовательно, объём 3ПГК-4 равен удвоенному объёму вписанного в него куба, т.е.:

. (2.13)

Это самый лёгкий и очевидный способ определения объёма 3ПГК-4. Есть и другие способы.

Объём восьми единичных кубов (4d³) больше объёма самой трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (2d³) ровно в два раза. Почему? Давайте разберёмся, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4 и между собой.

Чтобы понять, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4, рассмотрим чертежи на рис. 2.19.

Рис. 2.19.

Из тела 3ПГК-4 (рис. 2.19, а) выделен единичный куб при вершине B_г (B_гNC_гMKF_гO₂A_г) (рис. 2.19, б), который, в свою очередь, состоит из трёх геометрически равных между собой четырёхугольных пирамид с общей вершиной O₂: O₂B_гKA_гM, O₂B_гNF_гK и O₂B_гNC_гM (рис. 2.19, в, г, д). Основаниями этих пирамид служат находящиеся на поверхности 3ПГК-4 грани (ромбы) выделенного единичного куба. Соблюдаются также следующие равенства боковых рёбер этих пирамид: O₂B_г = O₂A_г = O₂F_г = = O₂C_г = a и O₂K = O₂M = O₂N = d. Все эти пирамиды имеют ту же высоту h, что и сам единичный куб, т.е. четырёхугольная призма.

Вычислим объём одной пирамиды V_пир. с помощью формул (2.9) и (2.10):

, (2.14)

что подтверждает, что объём пирамиды в три раза меньше объема единичного куба.

Так как внешних граней в 3ПГК-4, образующих её поверхность
(S_3ПГК-4), 12 и каждая из этих 12-ти граней является основанием пирамиды с вершиной в точке O, то суммарный объём всех этих 12-ти пирамид определит объём 3ПГК-4:

. (2.15)

Вот вам второй способ определения объёма 3ПГК-4.

Площадь поверхности 3ПГК-4 определится таким образом:

. (2.16)

Но вернёмся к теме обсуждения.

Выделенный при вершине B_г единичный куб B_гNF_гKMC_гO₂A_г каждой третью своей делит (т.е. совмещает) свой объём с тремя единичными кубами, расположенными при вершинах A_г, F_г и C_г :

• 1) c единичным кубом A_гMD_гQKB_гO₂E_г - совмещённый объём в виде пирамиды O₂B_гKA_гM ;
• 2) с единичным кубом F_гNG_гPKB_гO₁E_г - совмещённый объём в виде пирамиды O₂B_гNF_гK ;
• 3) с единичным кубом C_гMB_гNLD_гO₂G_г - совмещённый объём в виде пирамиды O₂B_гNC_гM. Следует заметить, что в вписанном в 3ПГК-4 кубе A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г вершины A_г, F_г и C_г являются ближайшими к вершине B_г.

Таким образом, доказано, что каждый единичный куб 3ПГК-4 каждой третью своего объёма совмещает своё пространство (объём) с тремя другими близлежащими единичными кубами.

Вот поэтому суммарный объём всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 () больше объёма самой 3ПГК-4 () в два раза.

Ещё два свойства единичных кубов 3ПГК-4:

• 1) каждый единичный куб 3ПГК-4 имеет по одной грани, общей с шестью из семи других единичных кубов. Так, единичный куб B_гNC_гMKF_гO₂A_г не имеет общей грани только с единичным кубом H_гQE_гPLD_гO₁G_г , при этом заметим, что вершины в этих единичных кубах B_г и H_г , N и Q, C_г и F_г , M и P, K и L, F_г и D_г , A_г и G_г - диаметрально противоположные; и только восьмая пара вершин O₁ и O₂ в этих единичных кубах является одной совмещённой вершиной, т.е.:
• 2) все восемь единичных кубов 3ПГК-4 имеют общую вершину, в которой совмещены две вершины - O₁ и O₂ .

Результаты расчётов основных геометрических параметров 3ПГК-4, выраженные через элементы ромба (единичной грани 3ПГК-4), представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4.

№ п/п	Наименование основных геометрических параметров и элементов ЗПГК-4	Обозначение	Основные геометрические параметры ЗПГК-4, выраженные через элементы ромба (грани):
ребро,	малую диагональ,	Большую диагональ,
1	Единичное ребро ЗПГК-4
2	Площадь единичной грани ЗПГК-4
3	Обьем единичного куба ЗПГК-4
4	Обьем ЗПГК-4
5	Площадь поверхности ЗПГК-4

Уважаемые профессиональные математики!

Следующими главами работы ««Начала» геометрии многомерных измерений» должны быть о пятимерном гиперкубе, шестимерном, семимерном гиперкубах и т.д., в которых надо определить все особенности их строения и вычислить все геометрические параметры трёхмерных проекций 3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д., - как это было сделано в этой главе относительно 3ПГК-4.

Могу сообщить, что трёхмерная проекция уже шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) откроет вам новые особенности строения 3ПГК-n.

Очень хочется, чтобы эта тема исследования кому-то стала интересной и близкой.

Мне очень хотелось бы узнать мнение об этой работе профессиональных математиков. Вы можете написать мне на мой электронный адрес.