Застосування кратних та криволінійних інтегралів

Подвійний інтеграл

Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі

Хай маємо область D як показано на рис. 1:

рис. 1

і вона задається нерівностями:

Подвійний інтеграл по цій області D має вигляд:

Хай область також можна задати нерівностями:

Тоді подвійний інтеграл має вид:

Тоді:

Такий перехід і є зміною порядку інтегрування.

Обчислення площ фігур за допомогою подвійного інтегралу

Площа плоскої фігури обчислюється по такій формулі:

Якщо фігура відноситься до прямокутної системи координат то формула набуває вигляду:

Якщо фігура відноситься у полярній системі координат то формула має вигляд:

Обчислення об'єму тіла за допомогою подвійного інтегралу

Об'єм тіла обчислюється за формулою:

Для обчислення об'єму у полярній системі координат використовується формула:

Обчислення площ поверхонь за допомогою подвійного інтегралу

Хай поверхня задається рівнянням:

Площа кривої поверхні обчислюється за формулою:

Інколи для спрощення обчислень вигідно проектувати поверхню, площу якої обчислюємо, не на площину xOy, а на площину yOz або xOz. Тоді формула набуває вигляду:

Або

Фізичний додаток подвійного інтегралу

Маса, центр маси та статичні моменти:

Координати центра маси області S, з густиною , знаходяться за формулою:

Де m - маса області S:

Аналогічно і для тривимірного простору: