Механічний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду
Робота сили
Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку , то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили виконується робота:
Робота тоді і тільки тоді не залежить від шляху L, з'єднуючого дві точки, коли підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції U(x,y,z) (так званого потенціалу силового поля). В цьому випадку робота обчислюється як різниця потенціалів в у даних точках.
2. Приклади задач
Змінити порядок інтегрування:
Розв'язання:
Побудуємо область D, враховуючи межі інтегрування:
Рис. 2
Ця область обмежена лініями:
Спроектуємо область D на вісь Ох. Це буде відрізок [0,2] (рис.2). Область D розбивається на дві частини.
Маємо
Отже маємо:
Площа фігури за допомогою подвійного інтегралу:
Знайти площу області, обмежену астроїдою (рис.3):
В результаті введення криволінійних координат:
Отримуємо:
Об'єм тіла за допомогою подвійного інтегралу:
Знайти об'єм тіла, що обмежене поверхнями:
Розв'язання:
Побудуємо тіло:
Рис. 4
Об'єм тіла обчислюється за формулою:
Областю інтегрування буде трикутник на площині хОу, що є проекцією.
Отже:
Обчислимо внутрішній інтеграл:
Тепер обчислимо об'єм:
Площа поверхні за допомогою подвійного інтегралу:
Обчислити площу тієї частини поверхні що знаходиться у першому октанті та обмежена площиною
Розв'язання:
Побудуємо тіло:
Рис. 5
Спроектуємо поверхню на площину xOz. Проекцією поверхні є чверть кола:
З рівняння задачі
Щоб скористатися формулою, знайдемо частинні похідні:
Тому:
З рівняння кола видно, що радіус дорівнює
Введемо полярні координати:
Обчислимо внутрішній інтеграл:
Остаточно:
Фізичний зміст подвійного інтегралу:
Знайти координати центра маси однорідної області, обмеженої верхньою частиною еліпса, що спирається на велику вісь.
Розв'язання:
Оскільки верхньою частиною еліпса є фігура, симетрична відносно вісі Оу, то центр маси знаходиться на Оу (рис. 6), тобто х=0.
Рис. 6
Знайдемо:
Отже:
Фізичний зміст криволінійного інтегралу І-го роду:
Знайти масу дуги кривої:
якщо лінійна густина змінюється за законом:
Розв'язання:
Фізичний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду:
Обчислити роботу сили:
При переміщенні одиниці маси по L: пряма О(0,0) А(5,3).
Розв'язання:
Запишемо рівняння прямої:
Рис. 7
Введемо параметр t:
Звідси:
Використаємо формулу:
Маємо:
Отже:
- 3. Виконання курсової роботи
- 1. Змінити порядок інтегрування
Розв?язання:
Побудуємо область інтегрування.
рис. 8
Розв?язання:
Побудуємо область інтегрування.
рис. 9
2. За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу фігур,обмежених лініями
; ;
Розв?язання:
Побудуємо фігуру, площу якої потрібно обчислити (рис.10).
рис. 10
Знаходимо межі інтегрування:
;
Тоді,
3. За допомогою подвійного інтеграла обчислити об?єм тіла, обмеженого поверхнею:
Розв?язання:
Об'єм знаходимо за формулою:
Побудуємо задане тіло:
рис 11.
Знаходимо функцію z(x,y):
Користуючись рис 11. знаходимо межі інтерування:
Отже:
При інтегруванні по y змінна x вважається постійною. Зручно для скорочення запису величину замінити на тобто:
1? ;
Звідси виходить:
t=2;
Отже:
4. Обчислити площу поверхні:
Розв?язання:
Побудуємо задану поверхню (рис.12):
рис. 12
Обчислюватимемо за формулою:
Отже:
; ;
Знайдемо похідні:
Отримаємо:
Знаходимо межі інтерування:
Отже:
5. Визначити центр ваги площі:
Однорідної фігури, що лежить в першій чверті та обмеженої еліпсом
інтеграл площа об'єм криволінійний
та координатними осями.
Розв?язання:
Побудуємо фігуру:
рис. 13
Для визначення центра ваги використовуємо формули:
Знайдемо межі інтегрування:
Знайдемо масу:
Знайдемо статичні моменти:
6. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду:
Розв?язання:
Знайдемо межі інтегрування:
Оскільки дано коло, то:
;
Перейдемо до полярних координат:
При переході формула набуде вигляду:
Знайдемо похідну:
Отже:
7. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду по заданій кривій L:
Розв?язання:
Побудуємо відрізок:
Рис. 14
Знайдемо dl:
Отже:
8. Обчислити інтеграл I вздовж кривої L:
Розв?язання:
Побудуємо рисунок:
рис. 15
Межі інтегрування:
Знайдемо функцію y(x):
;
Знайдемо похідну функції:
Знайдемо ds:
Отже:
Для обчислення цього інтегралу зручно виконати підстановку:
Тоді:
Враховуючи, що:
Відповідь:
9. За допомогою криволінійного інтеграла другого роду обчислити:
Площу, обмежену кривою
Вказівка: перейти до параметричних рівнянь, вводячи параметр t
підстановкою
Розв?язання:
Введемо параметр t:
Знайдемо x:
;
Знайдемо y:
Для обчислення площі використовуємо формулу:
Побудуємо криву:
Рис. 16
Знайдемо dx та dy:
Отже:
10. Поле утворено силою . Обчислити роботу при переміщенні одиниці маси по контуру L, якщо:
Розв?язання:
Побудуємо контур L:
Рис. 17
Запишемо рівняння прямої у параметричному вигляді:
Звідси маємо:
Знайдемо значення роботи:
