Преобразование схемы в параллельно-последовательный вид и расчет её надёжности

Преобразуем схему ВС, путем упрощения сплошных связей в системе и проводим расчет вероятности безотказной работы для последовательно включенных и параллельно включенных элементов.

Для последовательно включенных элементов при нагруженном резерве, отказы которых являются независимыми случайными событиями по аксиоме умножения вероятностей, вероятность безотказной работы системы

(1.1)

где p_i - вероятности безотказной работы подсистем.

Для параллельно включенных подсистем при таких же условиях вероятность безотказной работы системы

(1.2)

где p_j - вероятности безотказной работы подсистем.

Рисунок 2.1. Преобразование схемы

1. В исходной схеме элементы 1 и 2 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [1,2].

Р [1,2] = 1 - (1-P[01]) * (1-P[02]) = 1 - (1 - 0,5) * (1 - 0,52) = 0,76

2. Элементы 4 и 5 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [4,5].

Р [4,5] = 1 - (1-P[04]) * (1-P[05]) = 1 - (1-0,56) * (1 - 0,58) = 0,8152

3. Элементы 6 и 7 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [6,7].

Р [6,7] = 1 - (1-P[06]) * (1-P[07]) = 1 - (1 - 0,6) * (1 - 0,62) = 0,8248

4. Элементы 8 и 9 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [8,9].

Р [8,9] = 1 - (1-P[08]) * (1-P[09]) = 1 - (1 - 0,64) * (1 - 0,66) = 0,8776

5. Элементы 11 и 12 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [11,12].

Р [11,12] = 1 - (1-P[11]) * (1-P[12]) = 1 - (1 - 0,7) * (1 - 0,72) = 0,916

6. Элементы 14 и 15 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [14,15].

Р [14,15] = 1 - (1-P[14]) * (1-P[15]) = 1 - (1 - 0,76) * (1-0,78) = 0,9472

7. Элементы 16 и 17 образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [16,17].

Р [16,17] = P[16] * P[17] = 0,8*0,82 = 0,656

8. Элементы 13 и 18 образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [13,18].

Р [13,18] = 1 - (1-P[13]) * (1-P[18]) = 1 - (1 - 0,74) * (1 - 0,84) = 0,9584

Проводим дальнейшее преобразование системы, так как она не удовлетворяет данному условию.

Рисунок 2.2. Преобразование схемы

1. Элементы [4,5] и [8,9] образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [4,5,8,9].

Р [4,5,8,9] = P [4,5] * P [8,9] = 0,8152 * 0,8776= 0,668464

2. Элементы [6,7], [10] и [14,15] образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [6,7,10,14,15].

Р [6,7,10,14,15] = P [6,7]*P[10]* P [14,15] =0,8248*0,68* 0,9472= 0,438175

3. Элементы [11,12] и [16,17] образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [11,12,16,17].

Р [11,12,16,17] = P [11,12] * P [16,17] = 0,916 * 0,656= 0,600896

Проводим дальнейшее преобразование системы, так как она не удовлетворяет данному условию.

Рисунок 2.3. Преобразование схемы

1. Элементы [1,2] и [4,5,8,9] образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [1,2,4,5,8,9].

Р [1,2,4,5,8,9] =1 - (1-P [1,2])*(1-P [4,5,8,9])= 1 - (1 - 0,76) * (1-0,668464) = 0,920431

2. Элементы [11,12,16,17] и [13,18] образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [11,12,16,17,13,18].

Р [11,12,16,17,13,18] = 1 - (1-P [11,12,16,17]) * (1-P [13,18]) = 1 - (1 - 0,9584) * (1-0,600896) = 0,983397

Р [6,7,10,14,15] = 0,438175

Проводим дальнейшее преобразование системы, так как она не удовлетворяет данному условию.

Рисунок 2.4. Преобразование схемы

Элементы [6,7,10,14,15] и [11,12,16,17,13,18] образуют параллельное соединение. Заменяем их эквивалентном [A].

Р [A] =1 - (1 - P [6,7,10,14,15])*(1-P [11,12,16,17,13,18])=

=1 - (1 - 0,983397) * (1-0,438175) = 0,990672

Р [1,2,4,5,8,9] = 0,920431

Проводим итоговое преобразование системы и получаем систему следующего вида.

Рисунок 2.5. Преобразование схемы

Элементы [1,2,4,5,8,9] и [А] образуют последовательное соединение. Заменяем их эквивалентном [В].

Р [В] =Р [1,2,4,5,8,9] * Р[A]= 0,920431 * 0,990672=0,911845

Вероятность P_в выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из последовательно включенных групп подсистем. При расчете получено значение P_в=0.911845. Полученное значение входит в диапазон границ вероятности безотказной работы системы. Это значит, что преобразованную схему можно принять за эквивалентную исходной схеме. Поэтому в дальнейшем будем использовать эту систему в качестве основной.