Построение функций

Построение теоретической функции методом наименьших квадратов

Задание 1

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости y= a₀+a₁*x. Данные приведены в таблице 5.

Таблица 5 - Данные для задания 1

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a₀+a₁*x, с помощью системы уравнений:

a₀*N +a_i x_i= y_i

a₀ x_i + a_i x² _i = x_i*y_i

• 4a₀ +15a₁=27,28
• 15a₀ +55a₁=122,07

a₀=27,28-15a₁ /5

• 15*(27,28-15a₁)/5+55 a₁=122,07
• 15*(27,28-15a₁)/5+275 a₁=610,35
• 409,2-225a₁+275a₁=610,35
• 50a₁=201,15

a₁=4,02 и следовательно из системы уравнения a₀= - 6,6

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины уi:

у₁=-6,6+4,02*1=-2,58

у₂=-6,6+4,02*2=1,44

у₃=-6,6+4,02*3=5,46

у₄=-6,6+4,02*4=9,48

у₅=-6,6+4,02*5=13,5

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уi-уi / max{yi,yi}

E₁= -2,57-(-2,58) /-2,58*100%=0,39 %

E₂= 1,51-1,44/1,51*100%=4,64 %

E₃=5,23-5,46/5,46*100%=4,21 %

E₄=9,62-9,48/9,62*100%=1,46 %

E₅=13,49-13,5/13,5*100%=0,07 %

4) Построим графики у_i и у_i

Рисунок 1 - График регрессионной зависимости y= a0+a1*x.

Задание 2

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости y= a₀+a₁*x+ a*x². Данные приведены в таблице 6.

Таблица 6 - Данные для задания 2

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a₀+a₁*x+ a*x², с помощью системы уравнений:

a₀*N +a_i x_i+а₂ x² _i = y_i

a₀ x_i + a_i x² _i +a₂ x³ _i = x_i*y_i

a₀ x² _i + a_i x³ _i +a₂ x⁴ _i = x²_i*y_i

• 9a₀ +27a₁ +96а₂ = 320,52
• 27a₀ +96a₁ +378,02a₂ =1222,96
• 96a₀ + 378,02a₁+1583,24a₂ = 5037,24

a₀ = 320,52-27a₁ -96а₂ /9

• 27*(320,52-27a₁-96а₂ /9)+ 96a₁+378,02a₂=1222,96
• 961,56-81a₁-288а₂ + 96a₁+378,02a₂=1222,96
• 15а₁+90,02а₂=261,4

а₁=261,4-90,02а₂/15

• 96*(320,52-27*(261,4-90,02а₂/15)-96а₂)/9+378,02*(261,4-90,02а₂)/15+1583,24а₂= =5037,24
• 19а₂=49,61

а₂=2,61 и следовательно из системы уравнения a₁= 1,76, a₀= 2,49

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины уi:

у₁=2,49+1,76*1+2,61*(1)²=6,86

у₂=2,49+1,76*1,5+2,61*(1,5)²=11

у₃=2,49+1,76*2+2,61*(2)²=16,45

у₄=2,49+1,76*2,5+2,61*(2,5)²=23,2

у₅=2,49+1,76*3+2,61*(3)²=31,26

у₆=2,49+1,76*3,5+2,61*(3,5)²=40,62

у₇=2,49+1,76*4+2,61*(4)²=51,29

у₈=2,49+1,76*4,5+2,61*(4,5)²=63,26

у₉=2,49+1,76*5+2,61*(5)²=76,54

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

E₁= 6,68-6,86/6,86*100%=2,6 %

E₂= 11,26-11/11,26*100%=2,31 %

E₃=16,37-16,45/16,45*100%=0,48 %

E₄=23,18-23,2/23,2*100%=0,086 %

E₅=31,29-31,26/31,29*100%=0,096 %

E₆= 40,53-40,62/40,62*100%=0,22 %

E₇= 51,53-51,29/51,33*100%=0,47 %

E₈=63,10-63,26/63,26*100%=0,25 %

E₉=76,58-76,54/76,58*100%=0,05 %

Построим графики уi и уi

Рисунок 2 - График для уi и уi

Задание 3

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости у=а₀+а₁/х. Данные приведены в таблице 7.

Таблица 7 - Данные для задания 3

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a₀+a₁/x, с помощью системы уравнений:

a0*N +a1 v= u

a₀ v + a₁ v² = v*u

при этом заменим y=u и v=1/x, тогда уравнение регрессионной зависимости запишется u= a₀+a₁/x

• 6а₀+3,98а₁=17,61
• 3,98а₀+2,85а₁=13,18

а₀= 17,61-3,98а₁/6

• 3,98*(17,61-3,98а₁)/6 +2,85а₁=13,18
• 11,68-2,64а₁+2,85а₁=13,18
• 0,21а₁=1,5

а₁= 7,14 и, следовательно, из системы уравнения a₀= - 1,8

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины ui:

u₁=-1,8+7,14*1=5,34

u₂=-1,8+7,14*0,8=3,9

u₃=-1,8+7,14*0,67=2,98

u₄=-1,8+7,14*0,57=2,27

u₅=-1,8+7,14*0,5=1,77

u₆=-1,8+7,14*0,44=1,34

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

E₁= 5,16-5,34/5,34*100%=3,37 %

E₂= 4,24-3,9/4,24*100%=8,02 %

E₃=2,88-2,98/2,98*100%=3,36 %

E₄=1,9-2,27/2,27*100%=16,3 %

E₅=1,88-1,77/1,88*100%=5,85 %

E₆= 1,55-1,34/1,55*100%=13,55 %

4) Построим графики уi и уi:

Рисунок 3 - Графики для уi и уi: