Сферические координаты

Пусть

где r - радиус-вектор точки М, т.е. r - расстояние от точки М до начала координат:

ц - угол между положительными направлением оси 0X и лучом (- проекция точки М на плоскость X0Y), ;

и - угол между положительным направлением оси 0Z и радиус-

вектором точки М (лучом ОМ),

Тогда модуль якобиана:

В сферических координатах:

Решение:

9(x² + y²) >= 16z² - конус

x² + y² + z² <= 25 - сфера

z<=0

находим пересечение поверхностей

z² = 16(x² + y²)/9

x² + y² +16(x² + y²)/9 = 25

D: x² + y² = 16

переходим к сферической системе координат

ц = (0;2р)

и = (arctg4/3;р/2)

r²cos²цsin²и + r²sin²цsin²и +r²cos²и = 25

с = 5

I=

V =

Ответ: V=

Задание №6

Найти статический момент относительно плоскости XOY однородного тела, ограниченного поверхностями:

x²+y²=z²

x²+y²=2z

Теоретическое введение:

Статический момент относительно координатных плоскостей вычисляется по следующим формулам:

M_XOY=

M_XOZ=

M_YOZ=

В нашем примере нам также понадобится знание о цилиндрической системе координат

Цилиндрические координаты:

Пусть

Здесь - угол между положительным направлением оси 0X и лучом , (- проекция точки М на плоскость X0Y), ; r - радиус-вектор точки,

Тогда интеграл вычисляется по формуле

Решение:

x²+y²=z² - конус

x²+y²=2z - эллиптический параболоид

Найдем пересечение этих поверхностей: 2z = z²; z = 0, z = 2

D: x²+y² = 4

Z_верх=

Z_низ=0,5(x²+y²)

Переходим к цилиндрическим координатам:

тогда

Z_верх = r

Z_низ = 0,5r²

M_XOY==

Ответ: