Законы векторной алгебры

Обозначения:

Длина вектора, модуль (абсолютная величина):

Сумма векторов:

(правило треугольника) (рис. 1.22);

(правило параллелограмма) (рис. 1.23);

(правило многоугольника);

(правило параллелепипеда, - диагональ).

Разность векторов:

Формула вычитания векторов:

(рис. 1.24).

Признак коллинеарности векторов:

Законы векторной алгебры

Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства

вектор скалярный ось многоугольник

Координатные формулы

Пусть - взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие направления координатных осей; - координаты вектора ; - координаты вектора ; или Тогда:

Если - начало вектора, - его конец, то

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и :

где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что

где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

Векторное произведение

Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для которого:

• 1) ( - угол между векторами и , );
• 2)
• 3) тройка , , - правая.

Свойства векторного произведения:

если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Векторное произведение в координатах

Если

,

В частности

Некоторые соотношения

(двойное векторное произведение),

(тождество Якоби),

Смешанное произведение трех векторов

Определение:

Свойства смешанного произведения:

- компланарны.

Если V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , то если тройка правая, и если тройка левая.

Смешанное произведение в координатах

Если то

Проекции вектора на ось

Обозначения: - проекции вектора на ось l; - величина проекции вектора на ось l.

Свойства проекций:

Составляющие (компоненты) вектора (рис. 1.25):

Координаты вектора

:

( - углы, образуемые вектором с положительными направленями осей координат Ox, Oy, Oz прямоугольной декартовой системы координат).

, , называются направляющими косинусами вектора

где Если - единичный вектор в направлении , то