Нахождение теоретических зависимостей для эмпирически заданных значений
Аппроксимация эмпирических данных линейной зависимостью
Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами а1, а2 считаются те, для которых сумма квадратов отклонения теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной.
Находим коэффициенты а1(пересечение графика с осью ОУ) и а2(значение наклона), (т.к. любую прямую можно задать ее наклоном и У-пересечением) решая систему линейных уравнений, к которой нас приводит метод наименьших квадратов:
Для этого находим:
и n (число значений и ) и составляем матрицу A и вектор B. Для нахождения коэффициентов пользуемся формулой:
X=A-1*B.
Вектор X состоит из двух чисел, которые являются искомыми а1 и а2.
Вычисления с помощью табличного процессора Excel:
Таблица 2:
 0,03 |
 0,19 |
0,001 |
0,006 |
0,32 |
|
|
0,09 |
0,28 |
0,008 |
0,025 |
0,36 |
|
|
0,15 |
0,35 |
0,023 |
0,053 |
0,40 |
|
|
0,22 |
0,43 |
0,048 |
0,095 |
0,45 |
|
|
0,31 |
0,52 |
0,096 |
0,161 |
0,51 |
|
|
0,39 |
0,59 |
0,152 |
0,230 |
0,56 |
|
|
0,48 |
0,66 |
0,230 |
0,317 |
0,62 |
|
|
0,56 |
0,72 |
0,314 |
0,403 |
0,68 |
|
|
0,64 |
0,78 |
0,410 |
0,499 |
0,73 |
|
|
0,72 |
0,84 |
0,518 |
0,605 |
0,78 |
|
|
0,79 |
0,89 |
0,624 |
0,703 |
0,83 |
|
|
0,87 |
0,94 |
0,757 |
0,818 |
0,88 |
|
|
0,94 |
0,98 |
0,884 |
0,921 |
0,93 |
|
|
1,01 |
1,02 |
1,020 |
1,030 |
0,98 |
|
|
1,07 |
1,06 |
1,145 |
1,134 |
1,02 |
|
|
1,13 |
1,09 |
1,277 |
1,232 |
1,06 |
|
|
1,19 |
1,12 |
1,416 |
1,333 |
1,10 |
|
|
1,25 |
1,15 |
1,563 |
1,438 |
1,14 |
|
|
1,31 |
1,18 |
1,716 |
1,546 |
1,18 |
|
|
1,37 |
1,21 |
1,877 |
1,658 |
1,22 |
|
|
1,43 |
1,23 |
2,045 |
1,759 |
1,26 |
|
|
1,49 |
1,26 |
2,220 |
1,877 |
1,30 |
|
|
1,55 |
1,29 |
2,403 |
2,000 |
1,34 |
|
|
1,61 |
1,32 |
2,592 |
2,125 |
1,38 |
|
|
1,66 |
1,34 |
2,756 |
2,224 |
1,41 |
|
|
Сумма |
22,26 |
22,44 |
26,093 |
24,191 |
22,44 |
|
Матрица {A} |
Вектор {B} |
||||
|
25 |
22,26 |
22,44 |
|||
|
22,26 |
26,093 |
24,19 |
|||
|
Вектор {X} |
|||||
|
а1 |
0,300 |
||||
|
а2 |
0,671 |
Подставив, полученные коэффициенты в уравнение (1) получим:
и построим график с наложением эмпирических данных:
Рис.2. Графики линейной зависимости.
Где: -фактические данные
- теоретическая зависимость
