Аппроксимация эмпирических данных степенной зависимостью.

Для нахождения коэффициентов а1 и а2 степенную зависимость надо линеаризовать. Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (3), в результате чего получится соотношение:

Обозначим , соответственно через z, b, tполучим:

,

что позволит использовать линейные формулы, которые использовались в решении многочлена первой степени. С заменой на Zi и на Ti олучим коэффициенты a2 и b. Коэффициент a1 находим по формуле:

a1 = exp(b).

Для нахождения коэффициентов a2 и b используем систему линейных уравнений:

Для этого находим:

и N (число значений и ) и составляем матрицу А и вектор B. Для нахождения коэффициентов пользуемся формулой:

X=A-1*B

Вектор X состоит из двух чисел, которые являются искомыми b и а2. Причем, а1=еb.

Вычисления с помощью табличного процессора Excel:

Таблица 3

-3,51	-1,66	12,30	5,82	0,16
-2,41	-1,27	5,80	3,07	0,29
-1,90	-1,05	3,60	1,99	0,38
-1,51	-0,84	2,29	1,28	0,46
-1,17	-0,65	1,37	0,77	0,55
-0,94	-0,53	0,89	0,50	0,62
-0,73	-0,42	0,54	0,30	0,69
-0,58	-0,33	0,34	0,19	0,75
-0,45	-0,25	0,20	0,11	0,80
-0,33	-0,17	0,11	0,06	0,85
-0,24	-0,12	0,06	0,03	0,89
-0,14	-0,06	0,02	0,01	0,94
-0,06	-0,02	0,00	0,00	0,97
0,01	0,02	0,00	0,00	1,01
0,07	0,06	0,00	0,00	1,04
0,12	0,09	0,01	0,01	1,07
0,17	0,11	0,03	0,02	1,10
0,22	0,14	0,05	0,03	1,13
0,27	0,17	0,07	0,04	1,16
0,31	0,19	0,10	0,06	1,19
0,36	0,21	0,13	0,07	1,21
0,40	0,23	0,16	0,09	1,24
0,44	0,25	0,19	0,11	1,26
0,48	0,28	0,23	0,13	1,29
0,51	0,29	0,26	0,15	1,31
Cумма	-10,60	-5,34	28,74	14,85	22,35
Матрица {A*}	Вектор {B*}
25	-10,60	-5,34
-10,60	28,74	14,85
Вектор {X}
b	0,01	a1* = eb
a2*	0,519	1,007

Подставив, полученные коэффициенты в уравнение (3) получим:

Q = 1.0067 * N0.5192

и построим график с наложением фактических данных:

Рис.3. Графики степенной зависимости.

Где:

• - фактические данные
• - теоретическая зависимость