Матрицы над евклидовым кольцом
Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы являются нулями кольца Е; это определение дословно переносится на столбцы кольца Е.
Теорема (о канонической строке). Если А - ненулевая строка над евклидовым кольцом, то в классе содержится каноническая строка.
Доказательство. Пусть какой-нибудь минимальный элемент класса содержится в строке . Можно предположить, что минимальный элемент является главным элементом строки А0. Поэтому строка А0 имеет вид . Применяя аксиому Е2 из определения евклидова кольца, разделим с остатком элементы строки А0 на элемент . В результате получим равенства
(13)
где или , или Применив теперь к строке А0 элементарные преобразования, состоящие в прибавлении к i-му элементу главного элемента , умноженного на -qi, i=2, …., n, получим строку
(14)
В силу минимальности элемента классе неравенства не, невозможны. Поэтому r2 = … = rn = 0 и строка А1 является канонической
Теорема. Если из строки над Е
(15)
при помощи одного элементарного преобразования получена строка
(16)
то множество всех НОД элементов строки (15) совпадает с множеством всех элементов строки (16)
Доказательство. Существует только три типа элементарных преобразований строк. В результате применения одного из элементарных преобразований к строке (15) между элементами строки (15) и элементами строки (16) могут иметь место только следующие связи:
- 1: b'i=еbi, i = 1, …,n, еG,
- 2: b'i=еbi, еG; b'i=bi, если i ? 1,
- 3: b'i=bi + bkq, qЕ; b'i=bi, если i ? 1.
Пусть d - какая-нибудь НОД элементов строки (15), д - какая-нибудь НОД элементов строки (16). Для каждого преобразования 1, 2, 3 тривиальным образом устанавливается, что d является общим делителем элементов строки (16), д - общим делителем элементов строки (15). Поэтому д d и d д. Из этих отношений делимости следует равенство .
Из доказанной теоремы вытекает следующее.
Следствие 1. Если то
Следствие 2. Если - минимальный элемент класса , к которому принадлежит строка , то
Диагональная матрица, независимо от размеров, называется канонической, если все ее ненулевые элементы расположены на главной диагонали подряд, начиная с главного элемента; каждый ненулевой элемент делит следующий за ним элемент главной диагонали, если таковой имеет. Например, следующие матрицы над Z , - канонические. Канонической считается каждая ненулевая одноэлементная матрица.
Теорема (о канонической матрице). Если А - ненулевая матрица над евклидовым кольцом, то в классе содержится каноническая матрица.
Доказательство проведем индукцией по минимальному порядку матриц t. Утверждение теоремы верно для всех матриц, для которых t = 1. Это следует из того, что: 1) ненулевая матрица, минимальный порядок которой равен 1, может быть только или одноэлементной матрицей, или строкой, или столбцом; 2) одноэлементная матрица уже является канонической, а для строк и столбцов утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы верно для матриц, минимальный порядок которых равен t 1, и докажем, что утверждение теоремы будет верно и для матриц, минимальный порядок которых равен t+1. Пусть матрица А имеет размер s n и минимальный порядок t+1. В классе найдется матрица, главный элемент которой будет минимальный. Пусть это будет матрица
.
Пользуясь аксиомой Е2 из определения евклидового кольца, разделим с остатком элементы а12, …, а1n первой строки и элементы а21, …, аs1 первого столбца матрицы А0 на элемент . В результате получим равенства
Применяя к матрице А0 суперпозицию элементарных преобразований, состоящих в прибавлении к i-му столбцу первого столбца, умноженного на -q1i, i = 2, …, n и затем - в прибавлении к j-й строке первой строки, умноженной на -q1j, j = 2, …, s, получим некоторую матрицу А1. В этой матрице первая строка и первый столбец будут и
Так как , то, в силу минимальности элемента , имеют место равенства . Поэтому матрица А1 должна иметь вид
Матрица А2 этой матрицы, которая получается из нее вычеркиванием первой строки и первого столбца, имеет минимальный порядок t и по предположению индукции приводится к каноническому виду
Так как элементарные преобразования, приводящие подматрицу А2 к каноническому виду, выполняется в рамках матрицы А1 без изменения ее первой строки и первого столбца, то матрица А*
принадлежит классу . Остается доказать, что . Для этого выполняем деление с остатком элемента на элемент : , где r = 0 или е(r)< е(). Выполнив это, применим к матрице А* последовательно два элементарных преобразования:
- 1) ко второму столбцу прибавим первый,
- 2) ко второй строке прибавим первую, умноженную на -q. В результате получим матрицу, содержащую на втором месте главной диагонали элемент r. В силу минимальности элемента в классе возможно только r = 0.Это значит, что и матрица А* - каноническая в классе .
Теорема (о минорах). Если А и В - пара эквивалентных матриц, имеющих ранг r, то для каждого натурального числа k ? r верно равенство
Доказательство. Можно ограничиться рассмотрением матриц А и В, размер которых s n удовлетворяет условию: s ? 2, n ?2. Докажем сначала утверждение теоремы в предположении, что матрица В получена из матрицы А одним элементарным преобразованием. Из всех миноров порядка k матрицы А составим строку .
На ряду со строкой S рассмотрим строку соответствующих миноров матрицы В .
Эти строки составляются так, что соответствующие миноры из матриц А и В имеют одинаковые индексы: , н = 1, …, h. Докажем, что Т ~ S. Для этого рассмотрим элементарные преобразования матриц четырех типов, одно из которых может быть преобразующим матрицу А в матрицу В.
- 1. Пусть матрица В получена из матрицы А умножением ее на i-й строки на обратный элемент е. Очевидно, что , если минор не содержит i-й строки, и , если минор сдержит i-й строку. Следовательно, строка Т получается из строки S умножением некоторых ее элементов на е. Поэтому Т ~ S.
- 2. Пусть матрица В получена из матрицы А прибавлением к i-й строке матрицы А ее i-й строки, умноженной на элемент q, причем i ? j. Если в минор не входит i-я строка, то . Если в минор входят и i-я и j-я строки, то, в силу известного свойства определителей, имеет место равенство . Если же в минор входит i-я строка, но не входит j-я строка, то , где минор получается из минора заменой в нем i-й строки матрицы А ее j-й строкой. Из полученных выражений для миноров, входящих в строку Т, следует, что Т ~ S
- 3. В случае, когда матрица В получена из матрицы А умножением ее
i-го столбца на обратимый элемент е, доказательство ничем существенным не отличается от доказательства в случае 1.
4. В случае, когда матрица В получена из матрицы А прибавлением к
i-му столбцу матрицу А ее j-го столбца, умноженного на элемент q, доказательство ничем существенным не отличается от доказательства в случае 2 Тем самым эквивалентность срок Т ~ S соответствующих минорам матриц А и В доказано. Из эквивалентности Т ~ S вытекает, что . Таким образом, в случае, когда матрица В получена из матрицы А утверждение теоремы доказано.
Из теоремы вытекают два следствия
Следствие 1. Пусть rang А = r > 1. Если в классе канонической является матрица
,
то /
Следствие 2. Если матрица , определенная в следствии 1, является канонической в классе , то каноническими в классе являются все матрицы вида
с любыми е1, е2, …, еrG и только они.
Теорема (об элементах канонической матрицы). Если rang А = r и
(17)
то в качестве ненулевых элементов канонической матрицы в классе можно взять элементы
(18)
Доказательство. Пусть - все ненулевые элементы некоторой канонической матрицы в классе . Из условия (17), которым подчинены элементы , и следствия 1 вытекают равенства
(19)
где е1, е2, …, еr - подходящие элементы на G. Из этих равенств тривиальным способом следует, что
(20)
Так как элементы канонической матрицы определяются с точностью до ассоциированности, то, как это вытекает из равенства (20), в качестве элементов канонической матрицы в классе можно взять элементы (18) и только в том порядке, в котором они уже расположены.