Статистическая обработка результатов эксперимента

Задача регрессии. Метод наименьших квадратов

Ищу функцию регрессии в виде (1*). Оценки коэффициентов нахожу с помощью Метода Наименьших Квадратов (МКВ), при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры. Суммирование буду производить по всем экспериментальным точкам (минимум величины S):

(2.1)

В случае нашей задачи, необходимым и достаточным условие минимума S является:

где k=0, 1, 2. (2.2)

Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

(2.3)

Сумма будет находиться по формуле:

где k = 0, 1, 2, 3, 4;

где j = 0, 1, 2

Система уравнений (2.3) примет вид:

(2.4)

В результате вычислений и :

Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через «p»:

Методом Гаусса (a=s^-1*V) решаем систему (2.4) и найдем обратную матрицу s^-1. В результате всех вычислений получаем:

Подставляем найденные значения коэффициентов в уравнение (2*) и находим из него минимальное значение суммы S: .

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

Полагаем, что экспериментальные значения измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией , которая известна. Для имеющихся измерений температуры , неизвестные значения дисперсии оцениваются по формуле:

Где r - число степей свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов (в нашем случае r = 3). ² = 0.07287

Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

K=*s^-1

При вычислении получаем: