Диференціальні властивості тригонометричних поліномів, що апроксимують задану функцію

У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном tn(x) близький до заданої функції f, то його модулі безперервності можна оцінити через модулі безперервності f.

Теорема 3. Зафіксуємо натуральні числа до і n і хай

(5.1)

Тоді для будь-якого

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

Попередні зауваження. Нерівності (5.2) і (5.4) переважно для великих d, а (5.3) -для малих. Якщо то (5.2) сильніше, ніж (5.4); проте (5.4) має більш симетричну форму і часто зручніше в додатках.

Доказ. Доведемо (5.2). Користуючись (2.1), (2.2) і (5.1), маємо

Доведемо (5.5). Покладемо в (5.2) . Тоді отримаємо :

після чого (4.5) дає (5.5).

(5.3) виходить з (5.5) в силу (2.11).

Залишається довести (5.4). Хай спершу . Тоді з (5.4) слідує:

Розглянемо, нарешті, випадок . З нерівності (2.7) виводиться

Підставляючи цю оцінку в (5.3), отримуємо (5.4) для .

Таким чином, теорема повністю доведена.

Слідство 3.1. Хай для деякого натурального до і будь-якого натурального n

(5.6)

Тоді для будь-якого d>0

(5.7)

рівномірно відносно n.

Слідство 3.2. Хай для деякого натурального до і будь-якого натурального n

Тоді

(5.8)

Теорема 4. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб

(5.9)

рівномірно відносно n.

Це витікає з теореми 1, следствия 3.1 і того зауваження що якщо виконана умова (5.9), то .

Теорема 5. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб

(5.10)

Це доводиться аналогічно теоремі 4, тільки замість слідства 3.1 потрібно скористатися слідством 3.2.

Нерівності теореми 3 мають той недолік, що їх праві частини явно залежать від константи С20. Таким чином, якщо замість фіксованого номера n і одного полінома tn розглядати послідовність поліномів {tn} (n=1,2...), то С20 опиниться, взагалі кажучи, незалежною від n і теореми 3 дає оцінки, не рівномірні відносно n. Покажемо як позбавитися від цієї незручності.

Теорема 6. Хай для деякого натурального до