Основна теорема

Звернемося тепер до розгляду наступного питання: які необхідні і достатні умови того, щоб

де -задана незростаюча функція?

Наскільки нам відомо, це завдання не було до цих пір вирішене навіть для випадку . Ми вирішимо її для функцій порівняння .

Лема 11. Хай і для деякого натурального

(7.1)

Тоді існує така константа с>0, що

(7.2)

Доказ. Згідно (7.1), знайдуться дві такі константи С60>0 і C61>0, що

(7.3)

Останнє з цих нерівностей, теорема 1 і теорема 3 ваблять нерівність

(7.4)

В силу і (2.2), маємо

Звідси

Користуючись (7.3) і (7.4), знаходимо, далі

(7.5)

Пригадаємо тепер, що . Це дає нам для

Підставляючи цю оцінку в (7.5), отримуємо

(7.6)

Ми можемо без обмеження спільності вважати, що тут . Покладемо в (7.6)

Тоді отримаємо остаточно

і лема доведена.

Основна теорема. Хай . Для того, щоб

(7.7)

необхідно, щоб для всіх натуральних і достатньо, щоб для деякого натурального

. (7.8)

Доказ. Хай має місце (7.7), тобто знайдуться дві позитивні константи С67 і С68, для яких

(7.9)

Тоді, по теоремі 1 і через першу половину нерівності (7.9), для будь-якого до маємо

тобто

Звідси, в силу _

і якщо то, зважаючи на монотонність і _

Далі, з другої половини нерівності (7.9) і теореми 9 витікає існування константи С72 такий, що для будь-якого

Цим закінчується доказ необхідності умови (7.8).

Хай має місце (7.8):

(7.10)

з С73>0. Тоді по теоремі 1 і через другу половину нерівності (6.10)

а по лемі 11

де С77>0.

Таким чином, встановлена достатність умови (7.8), і основна теорема повністю доведена.

Приведемо на закінчення узагальнення леми 11 на той випадок, коли оцінки зверху і знизу мають різні порядки.

Теорема 12. Хай і

(7.11)

Тоді

(7.12)

Доказ. Маємо, як при доказі леми 11

Покладемо тут

Тоді отримаємо, що

Теорема доведена.