Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi - теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
ц(z) - плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
уx - среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (уx ? Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
После подстановки 102,1 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=0,050152 ? 0,05 мм
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле:
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:
Для 1 интервала:
Zo1 = -2,23 ,
что соответствует величине ц(z) = 0,033194
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,49
что соответствует величине ц(z) = 0,131468
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,75,
что соответствует величине ц(z) = 0,301137
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,0096 ? -0,01 ,
что соответствует величине ц(z) = 0,398922
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,7019?0,7 ,
что соответствует величине ц(z) = 0,305627
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,47,
что соответствует величине ц(z) = 0,135418
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,21,
что соответствует величине ц(z) = 0,034701
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Для 1 интервала:
No1 =1,277
Для 2 интервала:
No2 = 5,059
Для 3 интервала:
No3 =11,58
Для 4 интервала:
No4 =15,351
Для 5 интервала:
No5 = 11,76
Для 6 интервала:
No6 = 5,211
Для 7 интервала:
No7 = 1,33
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
|
№ интервала |
Фактическая чистота mi/N |
Теоретическая чистота Ni/N |
|
1 |
0,057 |
0,025 |
|
2 |
0,057 |
0,097 |
|
3 |
0,192 |
0,222 |
|
4 |
0,346 |
0,295 |
|
5 |
0,230 |
0,226 |
|
6 |
0,076 |
0,100 |
|
7 |
0,038 |
0,025 |
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-квадрат:
|
№ интервала |
Факт Чистота fф = mi/N |
Теор. Чистота fm = Ni/N |
 (fф-fm)2/fm |
||
|
1 |
0,057 |
0,025 |
0,025 |
0,00063 |
0,025 |
|
2 |
0,057 |
0,098 |
0,098 |
0,00960 |
0,098 |
|
3 |
0,192 |
0,22 |
0,227 |
0,05153 |
0,234 |
|
4 |
0,346 |
0,295 |
0,295 |
0,08703 |
0,295 |
|
5 |
0,230 |
0,226 |
0,217 |
0,04709 |
0,208 |
|
6 |
0,076 |
0,100 |
0,109 |
0,01188 |
0,118 |
|
7 |
0,038 |
0,025 |
0,031 |
0,00097 |
0,038 |
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
где - теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания). Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- - уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут (q = 0,05)
- - числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами - СКО и МО (математическим ожиданием). Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение .
