Теоремы о пределах

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что

.

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число.

Тогда при

.

Теорема 2. Функция не может иметь двух различных пределов водной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По  теореме  о связи  предела  и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A=-.

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему .

Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функцийимеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть

, , .

Тогда, по  теореме  о связи  предела  и б.м. функции:

где  - б.м. при.

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С=.

Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 5. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .