Поиск максимума функции F(x) на отрезке [a;b]
Постановка задачи:
Необходимо численным методом найти максимум функции
F(x)=-L(x1)x2+3.1L(x2)x+5
на отрезке [a;b] с точностью е, при том, что L(x1) и L(x2) - коэффициенты, полученные вычислением полинома Лагранжа в точках x1, x2. Это задача одномерной оптимизации.
Для решения задачи одномерной оптимизации выберем метод дихотомии, т.к. он прост в алгоритмизации, обеспечивает быструю сходимость. Его недостаток в виде необходимости многократного вычисления F(x) не играет особой роли, т.к. F(x) - обыкновенный полином и расчёт его значений не затратит много ресурсов ПК.
Описание метода:
Пусть f(x)- функция определенна на [a;b] и требуется найти максимум F(x) с абсолютной погрешностью е. Идея метода дихотомии состоит в проведении на каждой итерации двух отсчётов (вычислений значений функции), отстоящих от середины отрезка неопределённости [а;b] на величину dе[0;е] и сравнения значения исследуемой функции в двух точках и , определяемых формулами:
и
Если
, то ,
иначе
Вычисления проводятся до тех пор, пока b-а <е. Тогда с абсолютной погрешностью, не превосходящей е, полагают
На каждой итерации отрезок неопределённости [aN;bN] уменьшается примерно вдвое.
Процедура поиска максимума методом дихотомии использует большое количество отсчётов функции для локализации точки максимума на отрезке заданной длины.
Геометрическая иллюстрация метода дихотомии:
