Функции нескольких переменных. Область определения.

Предел. Непрерывность.

Функцией двух перемен называется правило, по которому каждой паре действительных чисел (х, у) Д, соответствует одно определенное действительное значение переменной .

При этом х и у называются независимыми переменными (или аргументами), z - зависимой переменной (или функций), а множество Д - область определения, а Е - множество значений функции. Записываются: z= =f (x; y).

Графиком функции двух переменных z=f (x; y) в прямоугольной системе координат в пространстве является некоторая поверхность.

Аналогично определяется функция любого числа переменных x= f (x, y, z,.,t).

Окрестностью точки P₀ (x₀; y₀) Расм

называется внутренность круга с

центром в этой точке. Если радиус

круга равен , то говорят

- окрестность точки. Очевидно,

что любая точка P (x; y), принадлежащая

- окрестность точки P₀ (x₀; y₀), находится

от этой точке на расстоянии меньшим .

Определение. Число А называется пределом функции двух переменных z=f (x; y) = f (P) при РР₀, если для любого числа Е0 найдется такая - окрестность точки P₀ (x₀; y₀), что для любой точки P (x; y) этой окрестности (за исключением, быть может, точки P₀) имеет место неравенство

Е или Е,

Записывают или

Функция двух переменных называется бесконечно малой при РР_{0, е}сли ее предел равен нулю, то есть . Определение. Функция двух переменных z=f (x; y) = f (P) называется непрерывной в точке Р₀, если она определена в этой точки и ее окрестность и

или .

Точка Р₀ называется точкой непрерывности этой функции.

Если в точке Р₀ функция неопределена, или то Р₀ называется точкой разрыва.

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

Для функции двух переменных z=f (x,y) зафиксируем у, положив у=у₀. разность называется частным по х функции z=f (x,y) в точке P₀ (x₀y₀), а если зафиксировать х положив х=х₀, то разность называется частным приращением по у для этой функции в точке P₀ (x₀y₀).

Определение. Частной производной от функции z=f (x,y) по независимой переменной х называется производная

Частной производной по у называется производная

;

При вычисления частных производных применяются правило и формулы дифференцирования, справедливые для дифференцирования функции одного переменного. Во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Пример. Найти частных производные функции z=f (x,y) = х²+у³-3ху+5

Решение.

Полным приращением функции z=f (x,y) в точке P₀ (x₀; y₀) называется разность где Дх и Ду приращения аргументов функции. Функции z=f (x,y) называется дифференцируемой в точке P (x; y), если в этой точке полное приращение, представило в виде

(1)

где Дх и Ду приращение аргументов х и у в некоторой точке P (x; y), А и В постоянные, независящие от Дх и Ду, - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояния между точками P (x; y) и то есть

Определение. Главная часть приращения функции t=f (x,y) линейно относительно Дх и Ду, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz.

Из определения имеем (2) Величины А и В не зависят от Дх и Ду, но зависят от точки P (x; y), в которой этот дифференциал рассматривается, то есть является функцией от х и у.

Теорема. Если функция z=f (x,y) в точке P (x,y) дифференцируемо, то она имеет в точке первые частые производные и причем,

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращением, то есть . (3)

На основании теоремы (2) и (3), получаем формулу для вычисления полного дифференциала:

Аналогично определяется частные производные первого порядка и полный дифференциал функции трех переменных.

Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Функции двух переменных z=f (x,y) имеет четыре частных производных второго порядка

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка.

Частная производная второго порядка и более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешенной частной производной:

и т.д.

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны.

Таким образом: и т.д.

Дифференциалом второго порядка от функции z=f (x,y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть: d²z = d (dz).

В общем случае: dⁿz = d (d^n-1z).

Полный дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

вообще имеет место символическая формула:

Пример. Найти частные производные второго порядка функции z=3cos (x²+y²).

Решение. Для функции двух переменных z=f (x,y) могут быть указаны четыре частные производные второго порядка, а именно:

Находим эти частные производные:

Экстремум функции двух переменных.

Пусть функция двух переменных z=f (x,y) задано в некоторой области D.

Определение. Функция двух переменных z=f (x,y) =f (Р₀) имеет в точке P₀ (x₀; y₀) из области D максимум (минимум), если существует токая окрестность этой точки, что для всех точки P (x,y) из этой окрестности, отличных от точки P₀ выполняется неравенство.

f (P₀) f (P) (f (P₀) f (P)).

Точка P₀, в которой z=f (Р) имеет максимум (или минимум) называется точкой максимума (или минимума). Общее название для максимума и минимума - экстремум.

Теорема 1 (необходимый признак существования экстремума). Если P₀ (x₀; y₀) есть точка экстремума функции z=f (x,y), то в предложением, что указанные производные существуют в этой точке P₀ (x₀; y₀).

Точки из области определения функции двух переменных, в которых первые частные производные равны нулю, или не существуют, называется критическими точками этой функции.

Из теоремы 1 следует, что точки экстремума функции искать среди ее критических точек. Однако не всякая критическая точка будет являться точкой экстремума, т.е. теорема 1 не является достаточным признаком.

Теорема. Пусть

тогда, если:

1) то f (x₀,y₀) =z_max при А ,

f (x₀,y₀) =z_min при А

2) то экстремума нет в критической точке P₀ (x₀; y₀)
3) = то экстремума может быть, а может и не быть (сомнительной случай).

Пример. Найти экстремумы функции z = 2x³-xy²+5x²+y².

Решение. Находим первые частные производные z = 6x²-y²+10x, z =-2xy+zy. Приравнивая эти производные нулю, после элементарных преобразования приходим к системе уравнений: