Дифференциальные уравнения.

Уравнения с разделяющие переменным.

Дифференциальное уравнение первого порядка P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции

P (x; y) и Q (x; y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной, то есть имеет вид

(1)

Разделив переменные уравнение (1) можно привести к виду

Почленном интегрируя получим общий интеграл

Примеры. Найти общие интегралы дифференциальных уравнений

1. (x+1) 3dy - (y-2) 2dx = 0

Разделим переменные в уравнении разделив на (x+1) ³ (y-2) ².

Почленном интегрируя, получим:

или

2. .

Разрешим уравнение относительно у¹, получим

Выразим производную через дифференциалы переменных

Разделим переменные

Интегрируя находим общий интеграл

Однородные уравнения первого порядка.

Функция f (х; у) называется однородной порядка n, если

f (tx; ty) = tⁿf (x; y).

Дифференциальное уравнение у¹ = f (х; у) называется однородным, если функция f (х; у) является однородной функцией порядка n = 0, т.е.

f (tx; ty) = f (x; y). (2).

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены где u = u (x).

Примеры. Проинтегрировать уравнения.

1. .

Разрешим уравнение относительно производной

Проверим выполнение условия (2).

Вводим функцию u (x), пологая тогда и подставим в уравнение.

или

Разделим переменные, получим

Интегрируя, найдем:

Исключая вспомогательную функцию u (u = ), получим

, -

общий интеграл заданного дифференциального уравнения.

Установим, что данное уравнение - однородное:

Положим и подставим в уравнение

Разделим переменные

и интегрируем

или

Отсюда

Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

Уравнение вида

(3)

где P (x) и Q (x) известные функции от х называются линейными.

Путем замены где и вспомогательные функции уравнение (3) сводится к двум уравнениями с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

Уравнение вида

(4)

называется уравнением Бернулли. Разделим обе части (4) на уⁿ, получим

Обозначим где

тогда

И уравнение примет

(5).

Уравнение (5) это линейное уравнение.

Примеры. Решить дифференциальные уравнения.

Это линейное уравнение. Полагаем тогда и уравнение преобразуется к виду

или

Так как одну из вспомогательных функций u или v можно взять произвольно, то выберем в качестве v такой частный интеграл уравнения

Тогда для отыскания функции u решим уравнение

Решим первое из этих уравнений Разделим переменные

При интегрируем обе части, получим

отсюда получим простейший частный интеграл при С=1: , подставим полученное v во второе уравнение, получим или Интегрируя, получим Тогда или

2. х2у1+ху3 = 1.

Разделим обе части на х²у², получим Это уравнение Бернулли. Разделим обе части на у^-2. и обозначим у³ = z. Тогда 3у²у¹ = z¹ и . После замены получим уравнение , которое является линейным относительно функции z. Положим получим перепишем его в виде . (*⁾

Решим дифференциальное уравнение

Интегрируя, найдем При с = 1, простейший частных интеграл будет После подстановки в уравнение (*^), получим откуда а . В результате получим решение уравнения (*⁾

или

Возвращаясь к функции у, получим

Уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка.

1. Уравнение n-го порядка решается последовательным интегрированием.

После n кратного интегрирования, получаем общие решение это уравнения в виде

2. Уравнение 2-го порядка решается подстановкой
3. Уравнение 2-го порядка решается подстановкой

Примеры. Решить уравнения.

Умножим обе части этого уравнения на и интегрируя получим

или

Умножая последнее уравнение на и интегрируя, получим

или

Умножая последнее уравнение на и интегрируя, получим решения заданного уравнения.

или

Положим получим Разделим переменные и проинтегрируем .

Откуда или . Заметив р через , получим уравнение или . Интегрируя, найдем общее решение заданного уравнения .

3. если

Положим получим

или

Это уравнение Бернулли. Разделим на , получим

и положим , тогда

и .

Уравнение примет вид

или .

Получим линейное уравнение 1-го порядка, для решения которого положим где - вспомогательные функции. Тогда и после подстановки, получим уравнение

или

Решим дифференциальное уравнение Разделив переменные и интегрируя, получим

, откуда,

Для нахождения функции u, решим уравнение.

откуда , то есть

Зная u и v, найдем z:

а затем р из замены отсюда заменяя р на , получим

Используя начальные условия и , найдем С. отсюда С = 1.

Тогда Разделяя переменные, получим .

После интегрирования получим:

Вычислим интеграл в левой части.

Таким образом, получим общий интеграл

Используя, что , найдем С₁.

Тогда частный интеграл заданного уравнения

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами.

Уравнение вида называется линейным однородным дифференциальным уравнением. Обозначим - общее решение этого уравнения.

Общее решение где у₁, у₂ - линейно - независимые частные решения линейного однородного уравнения.

Общее решение находится с помощью характеристического уравнения которое получается из данного дифференциального уравнения, сохраняя коэффициенты p и q, а у, у¹, у¹¹, заменив соответственно 1, к, к². Рассмотрим три случая решения характеристического уравнения.

1. Корни к₁, к₂ - действительны и различны. Тогда а
2. Корни к₁, к₂ действительны и равные. к₁ = к₂ = к. Тогда а
3. Корни к₁, к_{2 -}комплексно - сопряженные, Тогда а

Примеры. Решить уравнения.

Составим характеристическое уравнение корни: к₁ = - 1, к₂ =6. Тогда

Характеристическое уравнение имеет вид . Тогда

Характеристическое уравнение имеет вид . Тогда и используя начальные условия, получим

1 = С₁отсюда найдем
2 = 3С₁ + С₂С₁ = 1, С₂ = - 1

Тогда получим - частное решение заданного уравнения.

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида называется линейным неоднородным уравнением второго порядка.

Обозначим - общее решение соответствующий однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения, соответствующее правой части и - общее решение данного неоднородного уравнения.

Тогда

Для некоторых специальных видов f (x) частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части f (x) можно указа я вид в следующих случаях.

1. Если и совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то
2. Если и совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то
3. Если и совпадает с двумя корнем характеристического уравнения, то
4. Если и числа не совпадает с корнями характеристического уравнения, то

где

- степень многочленов.

5. Если и числа совпадает с корнями характеристического уравнения, то

Если то где - частное решение, соответствующее правой части а - частное решение, соответствующее правой части

Примеры. Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.

Характеристическое уравнение имеет вид его корни

Общее решение однородного уравнения

Правая часть и, следовательно, , не совпадает с корнями характеристического уравнения. Тогда согласно пункту 1, Чтобы найти коэффициенты А, В, С, найдем и и подставим в заданное уравнение. После сокращения на и приведения подобных членов, получим

2АХ² + (6А + 2В) х + (2А + 3В +2С) = х² + х.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему уравнений.

2А = 1, 6А + 2В = 1
2А + 3В + 2С = 0

Решив эту систему, получим Таким образом

Для нахождения С₁ и С₂ используем начальные условия. Найдем

Тогда

Решим систему С₁+ С₂= 1, получи

С₁+2 С₂= - 1,С1 = 3; С2 = - 2.

Подставим в полученные значения С1 и С2

Решая характеристическое уравнение К² + 9 = 0, находим корни: . Следовательно,

Правая часть и числа совпадают с корнями характеристического уравнения. Поэтому, согласно пункту 5,

Подставляя в заданное уравнение, получим

Сравнивая коэффициенты при и ,

найдем

6А = 6, откуда А = 1, В = 0
6В = 0

Тогда

Найдем и используя начальные условия, найдем С₁ и С₂.

Таким образом и С₁ = 1, С₂ = 1 и

Метод вариации произвольных постоянных.

Пусть дано дифференциальное уравнение

где не является функций специального вида и подобрать вид частного решения по виду правой части и корнями характеристического уравнения нельзя. В этом случае можно применить метод вариации произвольных постоянных. Этот метод является более общим и применим к уравнениям с любой непрерывной частью .

Согласно методу вариации произвольных постоянных, составляем однородное уравнение, соответствующее заданному неоднородному уравнению

находим его общее решение. Общее решение заданного неоднородного уравнение будем искать в таком же виде, где будем считать С₁ и С₂ не постоянными, а некоторыми функциями о х, то есть

Производные этих функций и определяются из системы уравнений:

где у₁ и у₂ - частные решения однородного уравнения.

Примеры. Решить уравнения

Решим соответствующее однородное уравнение его корни Тогда Общее решение однородного уравнения

Согласно методу вариации произвольных постоянных, общее решение заданного уравнения продифференцирововав у₁ и у2, составим систему уравнений для нахождения и :