Операционное исчисление

Функция f (t) называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

1) f (t) непрерывна или кусочно непрерывна в (0; +);
2) для всех t0: f (t) =0;
3) f (t) функция ограниченного роста, возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные M0 и S₀0, что для всех t:

Изображением f (t) по Лапласу называется функция f (p) комплексного переменного , определяемая равенством:

Обозначает:

Читается: является изображением f (t) Свойства и основные теоремы Лапласа.

1. Теорема линейности.

Если , то а С₁ и С₂ - постоянные, то С₁ F (p) + C₂Ф (p).

2. Теорема подобия.

Если , то а постоянная.

3. Теорема смещения.

Если , то

4. Теорема запаздывания.

Если , то

5. Теорема дифференцирования оригинала.

Если , то ;

и т.д.

6. Теорема интегрирования оригинала.

Если , то

7. Теорема дифференцирования изображения.

Если , то

8. Теорема интегрирования изображения.

Если и существует, то

9. Теорема о свертке.

Сверткой двух оригиналов называется:

Если

и то

10. Интеграл Дюамеля.

Если и то

или,

Таблица изображений по Лапласу.

1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14) 15)

Примеры нахождения изображений.

1. Найти изображений Преобразуем

По таблице:

По теореме линейности:

2. Найти изображение .

По таблице

Воспользуемся теоремой дифференцирования.

Изображения:

Примеры нахождения оригинала по изображению - правильная рациональная дробь. Эту разлагаем на сумму элементарных (простейших) дробей, а затем по таблице находим по изображению оригинала.

Найти . Находим А, В, С, Д.

Сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях х:

р³А + В + С = 0, А = -

р²-2А + В - С + Д = 0, В =

р4А + 4В - 2С - Д = 1, С =

р⁰-8А + 4В - 2Д = 2Д = -

Если - правильная рациональная простые корни р₁, р₂, …, р_n, то можно применить формулу Хевисайда:

Найти .

Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методам.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

(1)

Надо найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям:

(2)

Пусть и .

Применим к обеим части (1) преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцирование оригинала и линейности, перейдем от дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2) к операторному уравнению (3)

(3)

Находим решение операторного уравнения:

(4)

По находим оригинал - функцию , которая является решением задача (1) - (2).

Пример.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:

Пусть , тогда ,

Получаем операторного уравнение

отсюда

По изображению находим . Для этого разложим дробь на сумму простейших.

При

Тогда и

2. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям:

Пусть , тогда ,

Получим соответствующую систему операторных уравнений:

Находим решение этой системы. Для этого воспользуемся методам Крамера.

По изображению , находим и по , находим .

тогда

Задание для самостоятельной работы

1.1 - 1.20. Вычислите неопределенные интегралы.

Решать неопределенных интегралов.

1.1 а) б) в) г) д)
1.2. а) б) в)
г) д)
1.3 а) б) в) г)
д)
1.4 а) б) в) г)
д)
1.5 а) б) в)
г) д)
1.6. а) б) в) г)
д)
1.7 а) б) в) г)
д)
1.8 а) б) в) г)
д)
1.9 а) б) в) г)
д)
1.10 а) б) в) г)
д)
1.11 а) б) в)
г) д)
1.12 а) б) в) г)
д)
1.13. а) б) в) г)
д)
1.14. а) б) в) г)
д)
1.15. а) б) в) г)
д)
1.16. а) б) в) г)
д)
1.17. а) б) в) г)
д)
1.18. а) б) в) г)
д)
1.19. а) б) в) г)
д)
1.20. а) б) в)
г) д)
2.1 - 2.20. Вычислить несобственный интеграл.
2.1 а) б)
2.2 а) б)
2.3 а) б)
2.4 а) б)
2.5 а) б)
2.6 а) б)
2.7 а) б)
2.8 а) б)
2.9 а) б)
2.10. а) б)
2.11. а) б)
2.12. а) б)
2.13. а) б)
2.14. а) б)
2.15. а) б)
2.16. а) б)
2.17. а) б)
2.18. а) б)
2.19. а) б)
2.20. а) б)
3.1 - 3.20. Вычислить площадь, ограниченную линями:
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
4.1 - 4.20. Определить длину дуги кривой:
4.1 ,
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20. ;
5.1 - 5.20. Определить объем тела, образованного вращения фигуры, ограниченном линиями.
5.1 вокруг оси Ох
5.2 вокруг оси Ох
5.3 вокруг оси Ох
5.4 вокруг оси Ох
5.5 вокруг оси Ох
5.6 вокруг оси Ох
5.7 вокруг оси Ох
5.8 вокруг оси Ох
5.9 вокруг оси Оу
5.10. вокруг оси Оу
5.11. вокруг оси Ох
5.12. вокруг оси Ох
5.13. вокруг оси Ох
5.14. вокруг оси Ох
5.15. вокруг оси Ох
5.16. вокруг оси Ох
5.17. вокруг оси Оу
5.18. вокруг оси Оу
5.19. вокруг оси Оу
5.20. вокруг оси Оу
6.1 - 6.20. Найти частные производные второго порядка функции z = f (x; y).
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
7.1 - 7.20. Найти экстремум функции z = f (x; y).
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
8.1 - 8.20. Найти общий интеграл или общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
8.1. а)
б)
в)
8.2. а)
б)
в)
8.3. а)
б)
в)
8.4. а)
б)
в)
8.5. а)
б)
в)
8.6. а)
б)
в)
8.7. а)
б)
в)
8.8. а)
б)
в)
8.9. а)
б)
в)
8.10. а)
б)
в)
8.11. а)
б)
в)
8.12. а)
б)
в)
8.13. а)
б)
в)
8.14. а)
б)
в)
8.15. а)
б)
в)
8.16. а)
б)
в)
8.17. а)
б)
в)
8.18. а)
б)
в)
8.19. а)
б)
в)
8.20. а)
б)
в)
9.1 - 9.20. Найти общее решение или общий интеграл дифференциальных уравнений второго порядка.
9.1 а)
б)
9.2 а)
б)
9.3 а)
б)
9.4 а)
б)
9.5 а)
б)
9.6 а)
б)
9.7 а)
б)
9.8 а)
б)
9.10. а)
б)
9.11. а)
б)
9.12. а)
б)
9.13. а)
б)
9.14. а)
б)
9.15. а)
б)
9.16. а)
б)
9.17. а)
б)
9.18. а)
б)
9.19. а)
б)
9.20. а)
б)
10.1. - 10.20. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
10.10.
10.11.
10.12.
10.13.
10.14.
10.15.
10.16.
10.17.
10.18.
10.19.
10.20.
11.1 - 11.20. Найти изображения функций.
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6.
11.7
11.8
11.9
11.10
11.11
11.12
11.13.
11.14.
11.15.
11.16.
11.17.
11.18.
11.19.
11.20.
12.1 - 12.20. Решить дифференциальное уравнение операционным методом.
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12.15.
12.16.
12.17.
12.18.
12.19.
12.20.
13.1 - 13.20. Решить систему дифференциальных уравнений операционных методам.
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
13.10.
13.11.
13.12.
13.13.
13.14.
13.15.
13.16.
13.17.
13.18.
13.19.
13.20.