Построение регрессионной зависимости для полного (ПФЭ) и дробного (ДФЭ) факторного эксперимента и их анализ
Задание 4
Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости у=а0+а1*х1+а2*х2+а12*х1*х2 ,и проверить регрессионную зависимость на адекватность для двухфакторного полнофакторного эксперимента. Данные приведены в таблице 8.
Таблица 8 - Данные для задания 4
|
N |
x1 |
x2 |
у1 |
у2 |
у3 |
y |
S2{y} |
y |
E,% |
|
1 |
-1 |
-1 |
-1,88 |
-1,84 |
-1,97 |
-1,897 |
0,00444 |
-1,929 |
1,66 |
|
2 |
1 |
-1 |
4,16 |
4,04 |
4,19 |
4,13 |
0,00635 |
1,105 |
0,6 |
|
3 |
-1 |
1 |
-5,99 |
-5,99 |
-5,84 |
-5,94 |
0,0075 |
-5,909 |
0,52 |
|
4 |
1 |
1 |
8,08 |
8,09 |
8,02 |
8,06 |
0,00145 |
8,085 |
0,31 |
Решение:
Рассчитаем коэффициент Кохрэйна
Gр = S2{y}max/ S2{y}, при этом Gт=0,77
S2{y}= (yi-y)2/m-1
S21{y}= (-,897+1,88)2+(-1,897+1,84)2+(-1,897+1,97)2/2=0,00444
S22{y}= (4,13-4,16)2+(4,13-4,04)2+(4,13-4,19)2/2=0,00635
S23{y}= (-5,94+5,99)2+(-5,94+5,99)2+(-5,94+5,84)2/2=0,0075
S24{y}= (8,06-8,08)2+(8,06-8,02)2+(8,06-8,02)2/2=0,00145
Gр =0,0075/0,00444+0,00635+0,0075+0,00145=0,381
Так как Gт=0,77 и Gр < Gт, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.
Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости
а0= yi /N
а0= -1,897+4,13-5,94+8,06/4=1,088
aj= =xi* yi /N
a1=-1*(-1,897) + 1*4,13 + (-1)*(5,94) + 8,06*1/4=5,007
а2=-1*(-1,897) - 1*4,13 +1*(-5,94) +1*8,06/4=-0,028
а12=(-1)*(-1)*(-1,897) + 1*(-1)*4,13 - 1*1*(-5,94)/4=1,99
Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)
tр= ак / S{ак}, притом tт=2,3
S{ак}- дисперсия адекватности, S{ак}= S2в/N*m
S2в- дисперсия воспроизводимости, S2в= S2{y}/N
S2в=0,001974/4=0,0049
S{ак}= 0,0049/12=0,02
tр0=1,088/0,02=54,4
tр1=5,007/0,02=250,35
tр2= -0,028/0,02 =1,4
tр12=1,99/0,02=99,5
Так как tр2 < tт ,то коэффициент а2 исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид
у=а0+а1*х1+а12*х1*х2
Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов
у1= 1,088+5,007*(-1)+1,99*1=-1,929
у2= 1,088+5,007*1+1,99*(-1)= 4,105
у3= 1,088+5,007*(-1)+1,99*(-1)= -5,909
у4= 1,088+5,007*1+1,99*1= 8,085
5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уi-уi / max{yi,yi}
E1= -1,897-(-1,929)/-1,929*100%=1,66 %
E2= 4,13-4,105/4,13*100%=0,6 %
E3=-5,94-(-5,909)/-5,94*100%=0,52 %
E4=8,06-8,085/8,085*100%=0,31 %
6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера
Fр= S2ад/ S2в , где S2ад - дисперсия адекватности Fт=5,32
S2ад =m/N-L (yi-y)2, где m=3,N=4,L=2
S2ад =1,5*((-1,897+1,929)2+(4,13-4,105)2+(-5,94+5,909)2+(8,06-8,085)2)=0,0048
Fр= 0,0048/0,0049=0,99
Так как Fр< Fт., то модель адекватна.
Задание 5
Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости у=а0+а1*х1+а2*х2+а3*х3+а12*х1*х2+а13*х1*х3+а23*х3,, и проверить регрессионную зависимость на адекватность для трехфакторного полнофакторного эксперимента. Данные приведены в таблице 9.
Таблица 9 - Данные для задания 5
|
N |
х1 |
х2 |
х3 |
у1 |
у2 |
у3 |
y |
S2{y} |
y |
E,% |
|
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
6,92 |
6,93 |
6,91 |
6,92 |
0,0001 |
7,06 |
1,98 |
|
2 |
1 |
-1 |
-1 |
-13,36 |
-13,39 |
-13,39 |
-13,38 |
0,0003 |
-13,257 |
0,89 |
|
3 |
-1 |
1 |
-1 |
-7,06 |
-7,01 |
-6,95 |
-7,01 |
0,00305 |
-7,15 |
1,96 |
|
4 |
1 |
1 |
-1 |
-7,35 |
-7,42 |
-7,32 |
-7,36 |
0,00265 |
-7,495 |
1,8 |
|
5 |
-1 |
-1 |
1 |
-2,95 |
-3,08 |
-2,97 |
-3 |
0,0049 |
-3,12 |
3,85 |
|
6 |
1 |
-1 |
1 |
4,84 |
4,50 |
4,59 |
4,64 |
0,03105 |
4,5 |
3 |
|
7 |
-1 |
1 |
1 |
-9,02 |
-9,04 |
-8,90 |
-8,99 |
0,005 |
-8,87 |
1,3 |
|
8 |
1 |
1 |
1 |
18,66 |
18,64 |
18,58 |
18,63 |
0,00175 |
18,74 |
0,59 |
Решение:
Рассчитаем коэффициент Кохрэйна
Gр = S2{y}max/ S2{y}, при этом Gт=0,77
S2{y}= (yi-y)2/m-1
S21{y}= (6,92-6,92)2+(6,92-6,93)2+(6,92-6,91)2/2=0,0001
S22{y}= (-13,38+13,36)2+(-13,38+13,39)2+(-13,38+13,39)2/2=0,0005
S23{y}= (-7,01+7,06)2+(-7,01+7,01)2+(-7,01+6,95)2/2=0,00305
S24{y}= (-7,36+7,35)2+(-7,36+7,42)2+(-7,36+7,32)2/2=0,00265
S25{y}= (-3+2,95)2+(-3+3,08)2+(-3+2,97)2/2=0,0049
S26{y}= (4,64-4,84)2+(4,64-4,50)2+(4,64-4,59)2/2=0,03105
S27{y}= (-8,99+9,02)2+(-8,99+9,04)2+(-8,99+8,90)2/2=0,005
S28{y}= (18,63-18,66)2+(18,63-18,64)2+(18,63-18,58)2/2=0,00175
Gр =0,03105/0,0001+0,0005+0,00305+0,00265+0,0049+0,005+0,00175=0,63
Так как Gт=0,77 и Gр < Gт, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.
Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости
а0= yi /N
а0= 6,92-13,38-7,01-7,36-3+4,64-8,99+18,63/8=-1,194
aj= =xi* yi /N
a1= ((-1)*6,92+(-13,38)*1+(7,01)*(-1)+(-7,36)*1+(-3)*(-1)+4,64*1+
+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=1,826
а2= (6,92*(-1)+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*1+(-7,36)*1+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+
+(-8,99)*1+18,63*1)/8=0,0013
а3= (6,92*(-1)+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*(-1)+(-3)*1+4,64*1+
+(-8,99)*1+18,63*1)/8=4,014
а12= (6,92*1+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*1+(-3)*1+4,64*(-1)+
+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=4,99
а13= (6,92*1+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*1+(-7,36)*(-1)+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+
+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=6,989
а23= (6,92*1+(-13,38)*1+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*(-1)+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+
+(-8,99)*1+18,63*1)/8=2,114
Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)
tр= ак / S{ак}, при этом tт=2,3
S{ак}- дисперсия адекватности,
S{ак}= S2в/N*m
S2в- дисперсия воспроизводимости,
S2в= S2{y}/N
S2в=0,04955/8=0,0062
S{ак}= 0,0062/24=0,0161
tр0= -1,194/0,0161 =74,16
tр1= 1,826/0,0161 =113,14
tр2= 0,0013/0,0161 =0,081
tр3= 4,014/0,0161 =249,32
tр12= 4,99/0,0161 = 309,94
tр13= 6,989/0,0161 = 434,099
tр23= 2,114/0,0161 = 131,3
Так как tр2 < tт ,то коэффициент а2 исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид у=а0+а1*х1+а3*х3+а12*х1*х2+а13*х1*х3+а23*х3
4) Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов
у1= -1,194+1,826*(-1)+4,014*(-1)+4,99*1+6,989*1+2,114*1= 7,06
у2= -1,194+1,826*1+4,014*(-1)+4,99*(-1)+6,989*(-1)+2,114*1= -13,257
у3= -1,194+1,826*(-1)+4,014*(-1)+4,99*(-1)+6,989*1+2,114*(-1)= -13,257
у4= -1,194+1,826*1+4,014*(-1)+4,99*1+6,989*(-1)+2,114*(-1)= -7,495
у5= -1,194+1,826*(-1)+4,014*1+4,99*1+6,989*(-1)+2,114*(-1)= -3,12
у6= -1,194+1,826*1+4,014*1+4,99*(-1)+6,989*1+2,114*(-1)= 4,5
у7= -1,194+1,826*(-1)+4,014*1+4,99*(-1)+6,989*(-1)+2,114*1= -8,87
у8= -1,194+1,826*1+4,014*1+4,99*1+6,989*1+2,114*1= 18,74
5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уi-уi / max{yi,yi}
E1= 6,92-7,06/7,06*100%=1,98 %
E2= -13,38-(-13,26)/-13,38*100%= 0,6 %
E3= -5,94-(-5,909)/-5,94*100%= 0,89 %
E4= -7,01-(-7,15)/-7,15*100%= 1,8 %
E5= -3-(-3,12)/-3,12*100%=3 ,85 %
E6= 4,64-4,5/4,64*100%= 3 %
E7= -8,99-(-8,87)/-8,99*100%= 1,3 %
E8= 18,63-18,74/18,74*100%= 0,59 %
6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера
Fр= S2ад/ S2в , где S2ад - дисперсия адекватности Fт=5,32
S2ад =m/N-L (yi-y)2, где m=3,N=8,L=3
S2ад =0,6*((6,92-7,06)2+(-13,38+13,26)2+(-7,01+7,15)2+(-7,36+7,495)2+
+(-3+3,12)2+(4,64-4,5)2+(-8,99+8,87)2+(18,63-18,74)2)=0,079
Fр= 0,079/0,0062=12,74
Так как Fр > Fт., то модель не адекватна.
Задание 6
Упростить регрессионную зависимость, найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости
у=а0+а1*х1+а2*х2+а3*х3+а4*х4+а12*х1*х2+а13*х1*х3+а14*х1*х4+а23*х1*х3+
+а24*х2*х4+а34*х3*х4, и проверить регрессионную зависимость на
адекватность для четырехфакторного дробнофакторного эксперимента с генерирующим соотношением х4=х1*х3. Данные приведены в таблице 10.
Таблица 10 - Данные для задания 6
|
N |
х1 |
х2 |
х3 |
у1 |
у2 |
у3 |
y |
S2{y} |
y |
Е,% |
х4 |
|
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
4,55 |
4,46 |
4,47 |
4,49 |
0,00245 |
4,49 |
0 |
1 |
|
2 |
1 |
-1 |
-1 |
-9,51 |
-9,41 |
-9,58 |
-9,5 |
0,0073 |
-9,52 |
0,21 |
-1 |
|
3 |
-1 |
1 |
-1 |
-13,47 |
-13,53 |
-13,58 |
-13,53 |
0,00305 |
-13,53 |
0 |
1 |
|
4 |
1 |
1 |
-1 |
-7,56 |
-7,58 |
-7,51 |
-7,55 |
0,0013 |
7,52 |
0,39 |
-1 |
|
5 |
-1 |
-1 |
1 |
-1,41 |
-1,51 |
-1,5 |
1,47 |
0,00305 |
-1,49 |
2 |
-1 |
|
6 |
1 |
-1 |
1 |
4,59 |
4,44 |
4,48 |
4,5 |
0,00605 |
4,49 |
0,22 |
1 |
|
7 |
-1 |
1 |
1 |
-3,52 |
-3,54 |
-3,5 |
-3,52 |
0,0004 |
-3,5 |
0,57 |
-1 |
|
8 |
1 |
1 |
1 |
22,43 |
22,5 |
22,59 |
22,51 |
0,00645 |
22,51 |
0,04 |
1 |
Решение:
х4=х1*х3 /*х4
х24 = х4*х1*х3
1= х4*х1*х3
Отсюда х3= х1*х4
х1=х3*х4
Тогда регрессионная зависимость запишется
у=а0+а1*х1+а2*х2+а3*х3+а4*х4+а12*х1*х2+а23*х1*х3+а24*х2*х4
Рассчитаем коэффициент Кохрэйна
Gр = S2{y}max/ S2{y}, при этом Gт=0,77
S2{y}= (yi-y)2/m-1
S21{y}= (4,55-4,49)2+(4,46-4,49)2+(4,47-4,49)2/2=0,00245
S22{y}= (-9,51+9,5)2+(-9,41+9,5)2+(-9,58+9,5)2/2=0,0073
S23{y}= (-13,47+13,53)2+(-13,53+13,53)2+(-13,58-13,53)2/2=0,00305
S24{y}= (-7,56+7,55)2+(-7,58+7,55)2+(-7,51+7,53)2/2=0,0013
S25{y}= (-1,41+1,47)2+(-1,51+1,47)2+(-1,5+1,47)2/2=0,00305
S26{y}= (4,59-4,5)2+(4,44-4,5)2+(4,48-4,5)2/2=0,00605
S27{y}= (-3,52+3,52)2+(-3,54+3,52)2+(-3,5+3,52)2/2=0,0004
S28{y}= (22,43-22,51)2+(22,5-22,51)2+(22,59-22,51)2/2=0,00645
Gр =0,0073/ 0,00245+0,0073+0,00305+0,0013+0,00305+0,00605+0,0004+0,00645=0,24
Так как Gт=0,77 и Gр < Gт, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.
Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости
а0= yi /N
а0= 4,49-9,5-13,53-7,55-1,47+4,5-3,52+22,51/8=-0,509
aj= =xi* yi /N
a1= ((-1)*4,49+(-9,5)*1+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*1+(-1,47)*(-1)+4,5*1+
+(-8,99)*(-1)+22,51*1)/8=3
а2= (4,49*(-1)+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*1+(-7,55)*1+(-1,47)*(-1)+4,5*(-1)+
+(-3,52)*1+22,51*1)/8=-0,014
а3= (4,49*(-1)+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*1+4,5*1+
+(-3,52)*1+22,51*1)/8=6,01
а4= (4,49*1+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*1+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*(-1)+4,5*1+
+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=5
а12= (4,49*1+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*1+(-1,47)*1+4,55*(-1)+
+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=5,004
а23= (4,49*1+(-9,5)*1+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*(-1)+4,5*(-1)+
+(-3,52)*1+22,51*1)/8=4,004
а24= (4,49*(-1)+(-9,5)*1+(-13,53)*1+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*1+4,5*(-1)+
+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=0,011
Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)
tр= ак / S{ак}, при этом tт=2,3
S{ак}- дисперсия адекватности, S{ак}= S2в/N*m
S2в- дисперсия воспроизводимости, S2в= S2{y}/N
S2в=0,0301/8=0,0038
S{ак}= 0,0038/32=0,011
tр0= -0,0509/0,011 =4,63
tр1= 3/0,011 =272,73
tр2= -0,014/0,011 =1,27
tр3= 6,01/0,011=546,36
tр4= 5/0,011=454,55
tр12= 5,004/0,011=454,9
tр23= 4,004/0,011=364
tр24= 0,011/0,011=1
Так как tр2 < tт и tр24 < tт, то коэффициент а2 и а24 исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид у=а0+а1*х1+а3*х3+ +а4*х4+а12*х1*х2+а23*х3
4) Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов
у1= - 0,509-6,01+5+5,004+4,004= 4,49
у2= - 0,509+3-6,01-5-5,004+4,004= -9,52
у3= -0,509-3-6,01+5-5,004-4,004=-13,53
у4= -0,509+3-6,01-5+5,004-4,004=-7,52
у5= -0,509-3+6,01-5+5,004-4,004=-1,49
у6= -0,509+3+6,01+5-5,004-4,004= 4,49
у7= -0,509-3+6,01-5-5,004+4,004= -3,5
у8= -0,509+3+6,01+5+5,004+4,004= 22,51
5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уi-уi / max{yi,yi}
E1= 4,49-4,49/4,49 *100%=0 %
E2= -9,5+9,52/-9,52 *100%= 0,21 %
E3= -13,53+13,53/-13,53 *100%= 0 %
E4= -7,55+7,52/7,55 *100%= 0,39 %
E5= -1,47+1,49/-1,49 *100%=2 %
E6= 4,5-4,49/4,5 *100%= 0,22 %
E7= -3,52-3,5/-3,52 *100%= 0,57 %
E8= 22,5-22,51/22,51*100%= 0,04 %
6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера
Fр= S2ад/ S2в , где S2ад - дисперсия адекватности Fт=5,32
S2ад =m/N-L (yi-y)2, где m=3,N=8,L=4
S2ад =0,75*((4,49-4,49)2+(-9,5+9,52)2+(-13,53+13,53)2+(-7,55+7,52)2+
+(-1,47+1,49)2+(4,5-4,49)2+(-3,52+3,5)2+(22,5-22,51)2)=0,0017
Fр= 0,0017/0,0038=0,45
Так как Fр< Fт., то модель адекватна.
