Функції багатьох змінних

Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної.

П-1. Об'єм кулі

Але існують функціональні залежності від багатьох незалежних змінних (двох, трьох і більше).

П-2. Об'єм кругового циліндра є функцією від двох незалежних змінних і від радіусу , його основи і від висоти циліндра, також залежність виражається за формулою

Вивчаючи фізичні стани будь-яких тіл, ми часто зміну їхніх властивостей наприклад температури тіла, густина і т.д. від точки до точки. Всі ці величини функціональних (є функціями) від координат точки, тобто температура є функцією від трьох незалежних змінних.

Якщо фізичний стан тіла змінюється ще й за часом, то ці величини є функціями чотирьох незалежних змінних, наприклад

Такого роду залежності зв'язані з функціями багатьох змінних. Нехай задано деяку множину площини .

О-1. Якщо кожній точці за певним законом відповідає одне і тільки одне дійсне значення , то кажуть, що на точки визначено функцію від двох незалежних і або або .

При цьому множину називають областю визначення функції, або областю існування функції

Якщо функцію задано аналітично (за допомогою формули чи кількох формул) і не вказано області визначення, то під останньою розумітимемо множину всіх точок , при яких заданий аналітичний вираз має смисл. Для функції двох трьох змінних область визначення часто можна задавати геометрично.

П-3. Знайти область визначення функції Геометрично це є внутрішність параболи включаючи і точки самої параболи.

Графіком функції двох змінних є геометричне місце точки трьохвимірного простору , тобто функція , визначає деяку поверхню, проекція якої на площину є область визначення .

П-4. Виконати рис. поверхні і її області визначення - верхня частина сфери з .

Областю визначення є сукупність точок , які задовольняють нерівність , або , а це є точки круга .

Множиною значень даної функції є відрізок осі , тобто .

Більш простою геометричною ілюстрацією функції двох змінних є лінії рівня, які визначаються рівнянням , де - довільні сталі взяті зі значень функції. Дане рівняння задає деяку однопараметричну сім'ю кривих в площині .

Геометрично, це означає, що зроблено переріз поверхні площинами і спроектована на площину . Ці крив і є лініями рівня .

Функції трьох змінних зобразити вже не можна, тому для них водять поняття поверхні рівня.

Поверхнями рівня функції називається множиною точок з області визначення функції, в яких функція набуває стале значення. Поверхні рівня задають рівнянням .

П-5. Знайти і побудувати рисунок ліній рівня функції