Границя функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль

О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім. Математик) Якщо для довільної послідовності точок взятої з області визначення функції і збіжної до точки

Відповідно послідовність значень функції має практично одне і те саме число .

то точка називається границею функції в точці і позначають

О-3. (Коші (1789-1857) - франц.)

Число називається границею функції в точці , якщо для існує таке , що для всіх точок , які лежать в - околі точки виконується нерівність

Геометрично це означає, що якщо тільки поточна точка з області визначення функції наближається до точки і відстань між ними стає меншою ніж , то апліката відповідної точки графік функції відрізняється від числа менше ніж на .

Неперервність

Нехай ф-я визначена в деякому околі точки

О-4. Функція називається неперервною в точці , якщо

Даній умові неперервності можна надати іншого вигляду. Введемо позначення приріст аргументів

- повний приріст функції в точці

З рівності О-4 маємо , або

О-5. Ф-я називається неперервною в точці , якщо повний приріст її в цій точці прямує до 0. Коли приріст її аргумент та прямують до нуля.

П-6. Дослідимо на неперервність функцію .

Визначення на всій числовій площині. Нехай довільна точка. Знайдемо

функція неперервна.

О-6. Функція неперервна на множині , якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Властивості ф-ції багатьох змінних неперервної в замкненій і обмеженій області аналогічні величини функції однієї змінної неперервної на відрізку.