Означення подвійного інтегралу та його властивості
З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст.
О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3)
За умови, що вона не залежить від способу розбивання області на частини, та вибору точок в кожній частині області .
Згідно (3) для (1) і (2) маємо .
Ці формули виражають відповідно геометричне і фізичне тлумачення подвійного інтегралу.
Достатньою умовою існування подвійного інтегралу є неперервність функції в замкненій обмеженій квадратовій області .
Оскільки є можливість довільного розбиття області і виконавши таке розбиття прямими паралельними координатними осями, дійдемо висновку, що в (3), а отже, і далі можна замість писати .
Для подвійних інтегралів використовуються такі властивості:
- 1?. Якщо , то .
- 2?. .
- 3?. .
- 4?. Якщо , то .
- 5?. Якщо .
- 6?. Якщо , то .
- 7?. .
Теорема про середнє значення.
Якщо функція неперервна в необмеженій замкненій квадровнїй області , то існує така точка , що , де - площа області .
Обчислення подвійного інтеграла
Область називають правильною в напрямі осі , якщо будь-яка пряма осі проведена через довільну точку області перетинає її границю лише у двох точках, тобто
Аналогічна область правильна в напрямі осі , якщо
(рис.2.)
Якщо область правильна в напрямі осі , то обчислення подвійного інтеграла зводиться до двох повторних інтегралів
.
Інтеграл по змінній називають внутрішнім, а інтеграл по змінній називають зовнішнім.
Якщо область правильна то її спочатку розбивають на правильні області, а тоді обчислюють подвійний інтеграл.
П-1 Обчислити