Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії та механіки
1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат.
Сферичними координатами точки називаються числа .
Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ;
- довжина цього радіус-вектора, тобто відстань від точки до початку координат;
- кут між проекцією радіус-вектора на площину і віссю .
Елементарний об'єм в прямокутній системі координат і в сферичній системі координат пов'язані співвідношенням де Якобіан перетворення
Оскільки елементарний об'єм , то
П-1. Обчислити потрійний інтеграл
, де - верхня частина кулі
2. Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії і механіки.
З першої властивості потрійних інтегралів випливає, що об'єм області може бути обчислений за допомогою потрійного інтеграла за формулою
(1)
П-2. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями (об'єм кулі) ,
.
Задане тіло обмежене зверху частиною параболоїда обертання , а знизу - частиною конуса .
Щоб знайти рівняння лінії вздовж якої вони перетинаються треба розв'язати таку систему рівнянь
Оскільки, то поверхні перетинаються в площині , а рівняння лінії їхнього перетину . Перейдемо до циліндричних координат
Тоді
(куб. од.)
Розглянемо задачу про визначення маси матеріального неоднорідного тіла. Нехай масу розділимо по замкненій області з об'ємною густиною , де - неперервна функція в . Розіб'ємо на елементарні області . Елементарна маса кожної частинки , де - елементи об'єму в декартовій системі координат. Тоді маса всього тіла (2)
- маса в циліндричних координатах.
Аналогічно знайдемо статичні моменти неоднорідного тіла відносно координатних площин відповідно
а координати центра мас просторового тіла обчислюватиметься за формулами
Як видно з рисунку 2 момент інерції елементарної маси відносно координатних осей дорівнюють
А моменти інерції всього тіла будуть дорівнювати
(7)
(8)
(9)
Момент інерції просторового тіла буде однорідним, то вважають, що
П-3. Знайти координати центра маси однорідного тіла обмеженого поверхнями
Оскільки дане тіло симетричне відносно координатних площин то , а вісь є віссю симетрії цього тіла, то
Тоді
Центр
П-3. Обчислити , де - область обмежена площинами
і параболоїдом .
1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат
Сферичними координатами точки називаються числа .
Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ;
- довжина цього радіус-вектора, тобто відстань від точки до початку координат;
- кут між проекцією радіус-вектора на площину і віссю .
Елементарний об'єм в прямокутній системі координат і в сферичній системі координат пов'язані співвідношенням де Якобіан перетворення
Оскільки елементарний об'єм , то
П-1. Обчислити потрійний інтеграл
, де - верхня частина кулі
2. Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії і механіки.
З першої властивості потрійних інтегралів випливає, що об'єм області може бути обчислений за допомогою потрійного інтеграла за формулою
(1)
П-2. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями (об'єм кулі) ,
.
Задане тіло обмежене зверху частиною параболоїда обертання , а знизу - частиною конуса .
Щоб знайти рівняння лінії вздовж якої вони перетинаються треба розв'язати таку систему рівнянь
Оскільки , то поверхні перетинаються в площині , а рівняння лінії їхнього перетину . Перейдемо до циліндричних координат
Тоді
(куб. од.)
Розглянемо задачу про визначення маси матеріального неоднорідного тіла. Нехай масу розділимо по замкненій області з об'ємною густиною , де - неперервна функція в . Розіб'ємо на елементарні області . Елементарна маса кожної частинки , де - елементи об'єму в декартовій системі координат. Тоді маса всього тіла (2)
- маса в циліндричних координатах.
Аналогічно знайдемо статичні моменти неоднорідного тіла відносно координатних площин відповідно