Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

Площа плоскої області обчислюється за формулою (6)

У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7)

Об'єм циліндричного тіла , обмеженою зверху неперервною поверхнею , де , знизу - замкненою обмеженою областю площини , з боків - циліндричною поверхнею, напрямна якої збігається з межею області , а твірні паралельні осі

(8)

Площа поверхні, яка проектується на площину в область і задається функцією ( - неперервні функції в області ), знаходиться за формулою

(9)

П-2. Обчислити площу області, лінією кардіоїдою

(кв.од.)

П-3. Обчислити об'єм тіла обмеженого заданими поверхнями .

(куб.од.)

Обчислення маси пластинки, статичних моментів, моментів інерції і координат центра мас

1. Маса плоскої пластини

Розглянемо на площині матеріальну пластину, яка має форму замкненої області з розподіленою на в кожній точці якої поверхнева густина визначається функцією , яка є неперервною в цій області

Площі частин області позначимо .

В кожній області виберемо довільну точку . Припустимо, що ми розбили область на частини на стільки дрібно, що в кожній області можна вважати, що густина дорівнює . Тоді величина є наближенням області маси яка зосереджена в точці цієї частини пластинки, яку займає область , а сума наближено визначає масу всієї пластинки. Очевидно, що точне значення маси заданої пластинки дістанемо, якщо знайдемо границю вказаної суми при , тобто

Але не було показано на лекції 1, що існує границя такої інтегральної суми незалежно від способу розбиття області і способу вибору точки , то таке число називається подвійним інтегралом від функції по області.

2. Статичний момент плоскої фігури

Статичний момент матеріальної точки масою відносно деякої осі дорівнює добутку маси цієї точки на відстань її від осі, тобто

Статичним моментом системи з матеріальних точок , з масами відносно деякої осі (прямої) називають число ,

де - віддаль точки до прямої .

Якщо за брати осі координат і , то відповідно статичні моменти систем матеріальних точок будуть дорівнювати

Поставимо задачу: знайти статичні моменти відносно осі і деякої замкненої області суцільно заповненою масою з густиною , яка є неперервною функцією точки.

Безпосередньо формули не можна застосовувати, бо точок в області нескінчена множина. Тому вдаємося до такого ж підходу як це ми зробили в попередньому пункті. Розбивши область довільним чином на частин знаходимо масу кожної з частин пластинки які наближено дорівнюють , де - площа області . Тоді наближені значення статичних моментів і пластинки відносно координатних осей визначаються за формулами

Точні значення цих величин знайдемо, якщо перейдемо до границі при умові, що , тобто

Отже статичні моменти і , відносно осі і неоднорідної плоскої пластинки з заданою густиною , обчислюється за формулами:

3. Координати центра маси плоскої області

Центр маси плоскої області має цікаву властивість:

1. Статичний момент центра маси плоскої області відносно осі дорівнює статичному моменту всієї плоскої області відносно цієї осі.

Якщо точка є центром маси плоскої області то згідно цієї властивості:

і

звідси

4. Моменти інерції плоскої області.

Момент інерції матеріальної точки з масою , деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі. Момент інерції системи матеріальних точок

з масами відносно деякої осі (прямої) дорівнює сумі моментів інерції всіх точок систем

Діємо аналітично як: в попередніх пунктах, розбиваємо область довільним чином на частин , знаходимо масу кожної з частин , які зосередженні в точках і обчислюємо моменти інерції, точки системи матеріальних точок відносно осей

Перейшовши до границі в кожній із сум при умові, що дістанемо формулу для обчислення моментів інерції розглянутої пластинки відносно осей

Враховуючи те, що моменти інерції матеріальної точки з масою відносно початку координат визначається за формулою , то скориставшись міркуваннями аналогічними попереднім, дістанемо формулу обчислення моменту інерції плоскої пластинки відносно початку координат

Тобто

Для випадку полярних координат формули (1)-(8) набираючи вигляду:

Маса пластинки (1?)

Статичні моменти (2?)

(3?)

Координати центра маси (4?)

плоскої пластинки

(5?)

Моменти інерції (6?)

(7?)

(8?)

П-1 Обчислити масу кругового кільця

, якщо густина в кожній точці обернено пропорційна відстані її до центра кільця.

Густина

За формулою (1?) отримуємо

П-2 Знайти центр маси однорідної фігури, обмеженої параболою і віссю

Оскільки дана фігура симетрична відносно осі ,

то

Тоді

Отже центр маси даної фігури лежить в точці